Classe di Ingegneria dell'Informazione Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2013-2014

Metodi Matematici e Probabilistici (9 CFU) Parte B

• Periodo: 16 settembre 2013 - 20 dicembre 2013
• Tenuto da: prof. Giuseppe Modica giuseppe.modica@unifi.it

Libri di testo e di consultazione

• [GM] M. Giaquinta, G. Modica, Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica, Edizione 2007, Pitagora editrice, Bologna, 2007.

• Uno script ingenuo per visualizzare una trasformazione f:C\to C, grid2py

• [MP] G. Modica, L. Poggiolini, Note di Calcolo delle Probabilità, seconda edizione, 2013, Pitagora editrice, Bologna, 2013.

• Alcuni esercizi proposti agli studenti.
• Ulteriori esercizi proposti agli studenti.

• Prova parziale del 25-Ottobre-2013 e soluzioni
• Prova parziale del 22-Novembre-2013 e soluzioni
• Prova parziale del 20-Dicembre-2013 e soluzioni

Lezioni svolte

• 24-09-13 --- 2 ore -
  • Richiami di algebra lineare. R^n. Sottospazi. Basi. Prodotto righe per colonne di matrici. Applicazioni lineari. Cambiamenti di base. Formula del rango. Rango della trasposta (per una dimostrazione)
  • Determinante - Formule di Laplace e Binet. Matrice dei cofattori e determinante dell'inversa. Determinante della trasposta.
  • Vedi [GM] cap. 1, 2, 3.

• 26-09-13 --- 2 ore -
  • Autovalori e autovettori. Autospazi. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti.
  • Matrici simili. Determinante di un operatore lineare. Polinomio caratteristico.
  • Matrici diagonalizzabili. Potenze di una matrice diagonalizzabile.

• 27-09-13 --- 3 ore -
  • Matrici simili a matrici triangolari. Teorema di Schur (c.d.).
  • Teorema di Cayley-Hamilton ( con dimostrazione).
  • Densità delle matrici con autovalori distinti.
  • Sistemi di ricorrenze lineari. Il caso di una ricorrenza scalare.
  • Calcolo delle potenze di una matrice con il metodo di Putzer (con dimostrazione).
  • Riduzione di una ricorrenza di ordine supeiore ad un sistema del primo ordine,
  • Numeri di Fibonacci.
  • Vedi [GM] cap. 5., 20.

• 01-10-13 --- 2 ore -
  • Prodotti scalari e spazi euclidei. Formule di Carnot e Pitagora. Diseguaglianza di Schwarz. Vettori ortonormali. Proiezione ortogonale su un sottospazio (c.d.).
  • Teorema di Riesz (c.d.).
  • Prodotti scalari in coordinate. Matrice di Gram.
  • Operatore aggiunto. Operatore aggiunto in coordinate.
  • Vedi [GM] cap. 5.

• 03-10-13 --- 2 ore -
  • Teorema dell'alternativa (c.d.).
  • Metodo dei minimi quadrati (c.d.). Regressione lineare (c.d.).
  • Pseudo-inversa di Moore-Penrose.
  • Retta di regressione lineare.
  • Vedi [GM] cap. 5.

• 04-10-13 --- 3 ore -
  • Autovettori di operatori autoaggiunti.
  • Teorema spettrale (s.d.). Decomposizione spetrale come combinazione lineare di proiettori (c.d.).
  • Caratterizzazione variazionale del minimo e del massimo autovalore di un operatore autoaggiunto. (c.d.)
  • Autospazi e autovalori delle potenze di un operatore autoaggiunto (c.d.). Radice quadrata di un operatore autoaggiunto semidefinito positivo (c.d.).
  • Gli operatori A*A e AA*.
  • Valori singolari di un operatore.
  • Formula di decomposizione polare (s.d.).
  • Decomposizione SVD.
  • Vedi [GM] cap. 6,7.

• 08-10-13 --- 2 ore
  • Decomposizione polare (c.d.).
  • Esercizi su valori singolari, autovalori, caratterizzazione variazionale degli autovalori di un operatore autoaggiunto.
  • Piccole oscillazioni attorno all'equilibrio. Frequenze proprie.
  • Un esempio di modello probabilistico: il dado.

• 10-10-2013 --- 2 ore -
  • Probabilità classica o uniforme su insiemei finiti.
  • Coefficienti binomiali. Varie formule sui coefficienti binomiali. Inversa della matrice dei coefficienti binomiali. Formule di inversione.
  • Numero di sottoinsiemi di k elementi. Cardinalità dell'insieme di k-liste di elementi presi in un insieme di n. Cardinalità dell'insieme di k-liste di elementi distinti presi in un insieme di n. Permutazioni di n. Permutazioni senza punti fissi.
  • Vedi [MP] cap. 2,3.

• 11-10-2013 --- 3 ore -
  • Estrazioni semplici.
  • Distribuzione ipergeometrica. Gioco del lotto: probabilità di un terno. Urne con palline distinte di diverso colore. Esercizi vari.
  • Probabilità condizionata. Formula induttiva della probabilità condizionata. Terno al lotto.
  • Vedi [MP] cap. 4, 5, 7.

• 15-10-2013 --- 2 ore -
  • Gioco del lotto e mani servite al poker. Calcolo con l'ipergeometrica e con le probabilità condizionate.
  • Formula della probabilità totale. Formula di Bayes. Test medici. Filtro Spam. Esercizi vari.
  • Vedi [MP] cap. 7.

• 17-10-2013 --- 2 ore -
  • Il modello probabilistico. Modellizzazione degli eventi e delle loro probabilit\`a come misure.
  • La sigma algebra degli eventi e la numerabile additività dela misura. Proprietà di continuità della misura (c.d.).
  • sigma algebra generata da una famiglia di insiemi. La sigma algebra degli insiemi di Borel.
  • Vedi [MP] cap. 6.

• 18-10-2013 --- 3 ore -
  • Misure di Borel su R. Funzione di ripartizione. Funzioni nondecrescenti e continue da destra. Teorema di Carathéodory di caratterizzazione delle misure di Borel con la rispettiva funzione di ripartizione (s.d.).
  • Definizione di variabile aleatoria. Esempi. Funzioni semplici. Teorema del campionanmento (c.d.?). Integrale rispetto ad una misura di funzioni semplici.
  • Vedi [MP] cap. 9.

• 22-10-2013 --- 2 ore -
  • Integrale rispetto ad una misura. Definizione. Proprietà. Teorema di Beppe Levi (c.d.)
  • Formula di Cavalieri. Disuguaglianza di Chebyshev (c.d.).
  • Calcolo dell'integrale rispetto a ad una misura discreta (c.d.).
  • Vedi [MP] cap. appendice B. in particolare esercizi da B.41 a B.51.

• 24-10-2013 --- 2 ore -
  • Calcolo dell'integrale rispetto a ad una misura assolutamente continua.
  • Esempi di distribuzioni discrete. Prova di Bernoulli. Lancio di $n$ monete indipendenti. Successione di lanci indipendenti di una moneta. Cilindri e eventi: teorema di Kolmogorov (s.d.).
  • Vedi [MP] cap. 10.

• 25-10-2013 --- 3 ore -
  • Esempi di distribuzioni discrete. Prova di Bernoulli. Distribuzione binomiale. Distribuzione ipergeometrica. Distribuzione geometrica.
  • Esempi di distribuzioni assolutamente continue. Distribuzioe uniforme. Distribuzione gaussiana. Distribuzione esponenziale.
  • Vedi [MP] cap. 10, 11.

• 25-10-2013 --- 2 ore - Prova parziale.

• 29-10-2013 --- 2 ore -
  • Variabili aleatorie. Integrale o valore atteso. Varianza. Distribuzione dei valori. Funzione di ripartizione. Formula di composizione. Qualche esempio.
  • Vedi [MP] cap. 9.

• 31-10-2013 --- 2 ore -
  • Esempi di variabili aleatorie discrete. Numero di successi. Tempo di attesa per un primo successo. Distribuzione geometrica. Assenza di memoria (c.d.). Variabili a distribuzione ipergeometrica.
  • Vedi [MP] cap. 11.

• 05-11-2013 --- 2 ore -
  • Distribuzione congiunta. Funzione di ripartizione congiunta. Marginali. Esempi. Formula di composizione (c.d.). Esempi.
  • Variabili con media e varianza finita. Covarianza. Variabili scorrelate.
  • Indipendenza di eventi. Variabili indipendenti e loro distribuzione congiunta. Misura prodotto, Teorema di Fubini.
  • Vedi [MP] cap. 12, 13.

• 07-11-2013 --- 2 ore -
  • Esercizi sulla distribuzione congiunta.
  • Variabili indipendenti e loro distribuzione congiunta. Misura prodotto, Teorema di Fubini. Densità della somma di due variabili indipendenti. Variabili indipendenti sono scorrelate.
  • Esistenza di variabili indipendenti equidistribuite (c.d.).
  • Vedi [MP] cap. 13.

• 08-11-2013 --- 3 ore -
  • Somma di due variabili aleatorie a distribuzione uniforme (c.d.).
  • Distribuzione esponenziale. Minimo di due v.a. a distribuzione esponenziale (c.d.).
  • V.a. a distribuzione esponenziale e assenza di memoria (c.d.).
  • Legge debole dei grandi numeri(s.d). Varie versioni. Applicazione alla statistica (s.d.).
  • Introduzione alla legge forte. Teoremi di Rajchmann e Etemadi (s.d.)
  • Vedi [MP] cap. 12, 13, 14.

• 12-11-2013 --- 2 ore -
  • Lemma di Borel-Cantelli(c.d.). Teorema 0-1 di Kolmogorov (c.d.).
  • Cenno alle relazioni tra la Convergenza quasi ovunque e la convergenza in probabilità.
  • Legge debole e forte dei grandi numeri. Un esempio statistico: la verifica dell'equità di un dado (c.d.). Entropia (c.d.). Metodo Montecarlo (c.d.).
  • Vedi [MP] cap. 15.

• 14-11-2013 --- 2 ore -
  • Legge debole dei grandi numeri (s.d). Cenno ai generatori di numeri casuali. Simulazione di variabili aleatorie. Metodo Montecarlo.
  • Vedi [MP] cap. 16 e cap. 21.d.

• 15-11-2013 --- 3 ore -
  • Teorema del limite centrale (s.d). Convergenza uniforme delle funzioni di ripartizione. Approssimazione della funzione di ripartizione di una somma di variabili aleatorie.
  • Cenno alla convergenza in legge e ai legami con le altre nozioni di convergenza.
  • Grafi orientati e matrici a termini nonnegativi. Archi e cammini. Relazioni con le potenze della matrice associata (c.d.)
  • Vettori e matrici stocastiche di dimensione finita: classi assorbenti, classi comunicanti, classi assorbenti minimali. Forma canonica di una matrice stocastica (c.d.).
  • Stati transienti e stati ricorrenti. Legame con le classi assorbenti minimali (s.d).
  • Vedi [MP] cap. 16, 17.

• 19-11-2013 --- 2 ore -
  • Punti fissi e pozzi. Esempi unidimensionali. Mappe Lipschiziane. Contrazioni. Teorema di punto fisso di Banach (c.d.). Applicazione alla risoluzione di equazioni lineari e non in R^n (c.d.).
  • Vedi [MP] cap. 18 a. e [GM] cap. 22.

• 21-11-2013 --- 2 ore -
  • Matrici stocastiche regolari. Norma L^1 sui vettori stocastici. Stime della distanza fra le righe di una matrice stocastica (c.d). Convergenza all'equilibrio delle potenze di una matrice stocastica (c.d.).
  • Proprietà della matrice limite (c.d.). Una condizione sufficiente per la regolarità (c.d.).
  • Vedi [MP] cap. 18b, esercizi 18.18 e 18.19.

• 22-11-2013 --- 3 ore -
  • Processi stocastici a tempo discreto e stati finiti. Matrice di transizione. Processi omogenei. Processi di Markov. Formule (19.3), (19.8) e (19.9). Nei processi di Markov è determinata la successione delle distribuzioni congiunte, formula (19.10). Processi di Markov omogenei o catene di Markov. Esempi classici: passeggiate casuali, macchinario guasto/funzionante. Un processo stocastico che non è un processo di Markov: esempio di Polya.
  • Simulazione di una catena di Markov con matrice di transizione assegnata (c.d).
  • Vedi [MP] cap. 19.a,b,c,d,f.

• 22-11-2013 --- 2 ore - Prova parziale.

• 26-11-2013 --- 2 ore - Non tenuta

• 28-11-2013 --- 2 ore -
  • Parametri caratteristici di una catena di Markov: probabilità di una prima visita in uno stato al passo k. Probabilità di visitare uno stato. Probabilità di una e di più visite in uno stato. Numero medio di visite in uno stato. Tempo medio di ritorno in uno stato. Teorema dei rinnovi. Stati ricorrenti e stati transienti. Legge 0-1. (tutto s.d.)
  • Vedi [MP] cap. 20, in particolare le tabelle a p. 244 e a p. 247.

• 29-11-2013 --- 3 ore -
  • Stati ricorrenti. Teorema sulla indipendenza e la distribuzione dei successivi tempi di ritorno in uno stato (s.d.). Teorema ergodico per catene di Markov con matrice di transizione irriducibile (c.d.). Teorema 21.4 (s.d.).
  • Il metodo Monte Carlo Markov chain. Costruzione di una matrice stocastica con un dato punto fisso: metodo di Hastings-Metropolis. Simulazione di una catena di Markov con matrice di transizione assegnata, sezione 19.f. Algoritmo di Hastings-Metropolis.
  • Vedi [MP] cap. 21 o queste note e 19.f. Per un'implementazione dell'algoritmo, si veda ad esempio http://code.activestate.com/recipes/414200-metropolis-hastings-sampler/ . È interessante leggere, o almeno scorrere, le prime pagine di questo articolo.

• 03-12-2013 --- 2 ore -- tenuta dal dott. Marco Paolieri
  • PRISM. Software per l'analisi di modelli probabilistici.

• 05-12-2013 --- 2 ore --
  • Commenti ulteriori all'algoritmo di Hastings-Metropolis.
  • Introduzione alle serie di potenze e alle trasformate in genere.
  • Moltiplicazione di numeri complessi in forma polare.
  • Funzioni olomorfe. Differenziabilità. Equazioni di Cauchy--Riemann nelle varie forme e loro significato geometrico (c.d.).
  • Vedi [GM] cap. 8.

• 07-12-2013 --- 3 ore --
  • Equazioni di Cauchy--Riemann. Esempi di funzioni olomorfe z^2, e^z, log z.
  • Integrale di linea di una funzione a valori complessi. Proprietà dell'integrale.
  • Teorema fondamentale del calcolo (c.d.).
  • Condizione necessarie e sufficienti per avere una primitiva olomorfa in un dominio qualsiasi e in un rettangolo, teoremi e proposizioni 9.12, 9.13, 9.14 (c.d.)
  • Vedi [GM] cap. 8, 9.

• 10-12-2013 --- 2 ore --
  • Domini elementari. Lemma e Teorema di Goursat (c.d). Formula di Cauchy (s.d). Teorema fondamentale dell'algebra (c.d.).
  • Serie di potenze. Raggio di convergenza e relativo teorema (s.d.).
  • Derivazione e integrazione termine a termine delle serie di potenze (s.d.).
  • Esempi di serie di potenze: esponenziale, logaritmo principale, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche. Calcolo di alcune somme.
  • Vedi cap. 14 e cap. cap 11.c, 11.d, 12.b, 12.c, 12.d, 12.e., 12.g.

• 12-12-2-13 --- 2 ore --
  • Calcolo dei coefficienti a partire dalla somma.
  • Le funzioni olomorfe sono localmente somme di serie di potenze e formula sui coefficienti (s.d.).
  • Stime di Cauchy (c.d), Teorema di Liouville (c.d.), Zeri di una funzione olomorfa (c.d).
  • Vedi cap 15.a, teorema 15.5.
  • Singolarità di una funzione olomorfa. Sviluppo in serie di Laurent (s.d.). Descrizione delle singolarità di $f$ in termini del comportamento del modulo |f|: singolarità eliminabili, polari, essenziali.
  • Vedi [GM] cap. 17.

• 13-12-2013 --- 3 ore --
  • Residuo di una funzione in un punto.
  • Il calcolo dei residui. Il caso di poli semplici.
  • Residuo all'infinito. Il teorema dei residui nelle varie forme.
  • Calcolo di alcuni integrali con il metodo dei residui: integrali generalizzati, integrali di tipo Fourier, il calcolo del'integrale di sin(x)/x su (0,+\ii).
  • Vedi [GM] cap. 17.

• 17-12-2013 --- 3 ore --
  • Prodotto di convoluzione. Teorema di Cauchy sul prodotto di convoluzione (s.d.). Applicazioni alla ipergeometrica e al calcolo dei numeri di Bernoulli.
  • Le funzioni olomorfe sin z e cos z. La funzione $z/(e^z-1)$. Suo sviluppo in serie, numeri di Bernoulli e relazione con sin(z)/cos(z).
  • Il calcolo della somma di una serie con il metodo dei residui.
  • Somma della serie armonica generalizzata con esponente pari.
  • Vedi [GM] cap. 13.f e cap. 18.

• 20-12-2013 --- 2 ore - Prova parziale.

Riepilogo

Lezioni: 80h

Seminari: 2h tenuto dal dott. ing. Marco Paolieri

Prove parziali: 6h