Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2013-2014

• Corso in coaffidamento.
  • Parte prima - Periodo: 16 settembre 2013 - 20 dicembre 2013, tenuta dalla prof.ssa Roberta Fabbri
  • Parte seconda - Periodo: 03 marzo 2014 - 11 giugno 2014, tenuta dal prof. Giuseppe Modica

Libri di testo

• M. Giaquinta, G. Modica, Note di Analisi Matematica: Funzioni di più variabili, Pitagora Editrice, Bologna, 2006.
• L. Poggiolini, M.Spadini, Esercizi e temi di Analisi Matematica II, Esculapio, Bologna, 2013.
• S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Matematica 2, Zanichelli, Bologna, 2005.

• Una breve introduzione ai numeri complessi

Parte Seconda - Lezioni svolte

• 03-03-14 --- 2 ore -
  • Introduzione al corso.
  • Numeri naturali come sottoinsieme di R. Principio di induzione. Proprietà dei numeri naturali. Definizioni, stime e dimostrazioni mediante il principio di induzione.
  • Vedi Cap. 1.

• 04-03-14 --- 3 ore -
  • Successioni e loro limiti. Sottosuccessioni. Teorema di collegamento tra limiti di funzione e limiti di successione.
  • Esercizi sui limiti di successione. Limiti notevoli.
  • Teorema di Cesaro e applicazioni.
  • Stime sul fattoriale. Formula di Stirling (s.d.)
  • Vedi Cap. 1.

• 06-03-14 --- 1 ora - Tenuta della dott.ssa Lascialfari
  • Il processo di somma infinita o serie. La serie come integrale generalizzato.
  • La serie geometrica. Esempi.
  • Vedi Cap. 2.

• 10-03-14 --- 2 ore -
  • Serie e integrale generalizzato.
  • La serie armonica.
  • I numeri con la virgola
  • Serie armoonica generalizzata.
  • Criterio del confronto per serie.
  • Vedi Cap. 2.

• 11-03-14 --- 3 ore -
  • Richiami sulle funzioni elementari. Esercizi sulle serie a termini non negativi.
  • Spazio metrico. Esempi R e R^2. Prodotto scalare, formula di Carnot, diseguaglianza di Cauchy-Schwarz. Successioni convergenti. Propriet\`a del limite di successione.
  • Successioni massimizzante e minimizzante. Successioni di Cauchy. Criterio di convergenza di Cauchy.
  • Vedi cap 2, 3, 4.

• 13-03-14 --- 1 ora -
  • Esercizi sulle serie a termini non negativi.
  • Vedi cap 2, 3.

• 17-03-14 --- 2 ore -
  • Esercitazione in aula Soluzioni.

• 18-03-14 --- 3 ore -
  • Punti aderenti e chiusura di un sottoinsieme. Punti interni ad un sottoinsieme. Punti di frontiera. Punti di accumulazione e punti isolati.
  • Aperti in uno spazio metrico e loro proprietà.
  • Insiemi chiusi e loro proprietà.
  • Funzioni continue e aperti, proposizione 5.29 e esercizio 5.32.
  • Esempi di funzioni di più variabili. Parametrizzazioni di una semisfera. Dominio, immagine e grafico di una funzione da R^n in R^k. Linee di livello.
  • Analisi delle funzioni da R^2 a R con l'uso delle linee di livello.
  • vedi Cap. 5, 6.

• 20-03-14 --- 1 ora -
  • Sopra- , sotto-livelli e linee di livello di funzioni continue.
  • Esercizi su: riconoscimento di domini piani e delle loro proprietà topologiche: parte interna, chiusura, limitatezza.
  • vedi Cap. 5, 6.

• 24-03-14 --- 2 ore -
  • Funzioni continue tra spazi metrici. Retroimmagine continua di aperti e di chiusi.
  • Composizione di funzioni continue. Curve continue. Insiemi connessi per archi. Insiemi connessi per archi e funzioni continue (c.d.). Componenti connesse per archi. Applicazioni. Esercizi 6.41,6.42,6.43 (c.d.)
  • Esercizi sul calcolo dell'immagine di funzioni continue da R^2 a R.
  • vedi Cap. 5, 6.

• 25-03-14 --- 3 ore -
  • Compattezza per successioni. Gli insiemi compatti sono chiusi e limitati (c.d.).
  • Teorema di Bolzano-Weierstrass per successioni di R^n (c.d.). I chiusi e limitati di R^n sono compatti (c.d.). Teorema di Weierstrass nelle varie forme (c.d.).
  • Vedi Cap 6.a,b,d,e.
  • Continuità della funzione inversa (s.d.).
  • Vedi Cap 6.a,b,d,e.
  • La funzione distanza da un punto (c.d.).
  • La funzione distanza da un insieme (c.d.).
  • Vedi cap. 5.

• 27-03-14 --- 1 ora -
  • Richiami di algebra lineare. Le applicazioni lineari sono lipschitziane. Norma l_2 di una matrice.

• 31-03-14 --- 2 ore -
  • Caratterizzazione variazionale degli autovaori di una matrice simmetrica. Coefficiente di massima dilatazione e costante di Lipschitz di una applicazione lineare.
  • Nozioni di differenziale, applicazione lineare tangente, matrice jacobiana e derivate direzionali per una funzioni di più variabili a valori scalari.
  • Applicazioni lineari da R^n in R^k e loro grafici.
  • Vedi Cap 10. e 11. a,b,c,d.

• 01-04-2014 --- 2 ore -
  • Spazi tangente e normale al grafico di una funzione in un punto.
  • Regole di calcolo. Regola della catena.
  • Esercizi sulla regola della catena.
  • Teorema del differenziale totale (s.d.).
  • La nozione di curva. Curve continue, curve di classe C^1, curve semplici, curve chiuse. Vettori velocità e accelerazione. Moto rettilineo uniforme. Moto circolare uniforme. Integrale di una funzione vettoriale, prop. 7.10 (c.d.) Teorema fondamentale del calcolo.

• 03-04-2014 --- 1 ora -
  • Curve equivalenti. Lunghezza di una curva. Curve equivalenti hanno la stessa lunghezza. Curve semplici con la stessa traiettoria sono equivalenti (c.d.) Formula per il calcolo della lunghezza di curve di classe C^1 (c.d.). Lunghezza dell'elica e della cicloide.
  • Vedi Cap. 7, 11.e.

• 07-04-2014 --- 2 ore -
  • Teorema del valor medio (c.d.).
  • Funzioni C^1 e funzioni lipschitziane.
  • Funzioni di classe C^k. Formule di Taylor al secondo ordine con resti integrale, alla Lagrange e alla Peano.
  • vedi cap. 12.c, 12.d.

• 14-04-2014 --- 2 ore -
  • Esercitazione in aula Soluzioni.

• 15-04-2014 --- 3 ore -
  • Ancora richiami sul teorema spettrale e la caratterizzazione variazionale degli autovoalori di una matrice simmetrica.
  • Segnatura della forma quadratica associata ad una matrice.
  • Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per l'esistenza di un estremo locale per funzioni di classe C^2.
  • Teorema di invertibilità locale (s.d.)
  • Qualche esempio: coordinate polari, cilindriche, sferiche, coniche.
  • Introduzione alla nozione di superficie regolare: il caso delle linee regolari.

• 17-04-2014 --- 2 ore -
  • Immagini diffeomorfe di un aperto. Spazio tangente.
  • Teorema di invertibilità locale (c.d.)
  • Superfici immerse.
  • Esercizi: superficie laterale del cilindro, calotta sferica.
  • vedi cap. 14.

• 28-04-2014 --- 2 ore -
  • Massimi, minimi e punti critici vincolati ad una sottovarietà. Analisi con le linee di livello. Il caso di una superficie parametrizzata. Il caso di una sottovarietà definita implicitamente (c.d.). Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (c.d.).
  • Esercizi
  • Vedi cap 16.d.

• 29-04-2014 --- 3 ore -
  • Esercizi sul calcolo del piano tangente a linee di livello regolari e sul calcolo dei punti critici vincolati.
  • Il calcolo elementare del volume di solidi di rotazione in R^3.
  • Vedi cap 18.a.

• 05-05-2014 --- 2 ore -
  • La nozione di misura. Sigma algebre di sottoinsiemi. Funzioni numerabilmente additive.
  • La definizione di misura. Misura esterna e misura di Lebesgue in R^n: definizione e proprietà (s.d.).
  • Numerabilità dei razionali e non numerabilità dei reali.
  • Calcolo della misura di alcuni sottoinsiemi del piano definiti iterativamente.
  • vedi cap 16.d, cap 17 a, 17 b.

• 06-05-2014 --- 3 ore -
  • L'integrale rispetto ad una misura. Funzioni semplici. Integrale di funzioni semplici. Additività dell'integrale di funzioni semplici. Funzioni misurabili, esempi e proprietà. Algoritmo di quantizzazione (c.d.). Definizione di integrale. Proprietà dell'integrale. Teorema di Beppo Levi.
  • Integrale di Lebesgue di una funzione non negativa e area del sottografico (c.d.)
  • Formula di Cavalieri (c.d.).
  • Diseguaglianza di Chebyshev (c.d.)
  • Insiemi di misura nulla e integrale. vedi Cap 18.a.

• 08-05-2014 --- 1 ora -
  • Teorema di Fubini (s.d.). - Insiemi normali rispetto ad una asse. Solidi di rotazione.
  • Esercizi di calcolo di integrali multipli.
  • Vedi cap. 20.

• 12-05-2014 --- 2 ore -
  • Formula di cambiamento di variabile negli integrali multipli.
  • Esercizi di calcolo di integrali multipli.

• 13-05-2014 --- 3 ore -
  • Esercizi di calcolo di integrali multipli.
  • Il calcolo dell'area di una superficie. Esempio di Schwarz.
  • Vedi cap. 20 a., b., c., 21.4, 21.5

• 15-05-2014 --- 1 ora -
  • Definizione e proprietà delle misure di Hausdorff (s.d.).
  • Formula dell'area.
  • Calcolo dell'area di grafici e di superfici di rotazione.
  • vedi Cap. 22. a., b., c.

• 19-05-2014 --- 2 ore
  • Esercitazione in aula Soluzioni.

• 20-05-2014 --- 3 ore -
  • Campi di forze. Lavoro e sue proprietà.
  • Forme esatte e campi conservativi. Teorema fondamentale del calcolo con dimostrazione del Teorema 23.9.
  • Campi irrotazionali. Proposizione 24.2 (s.d.). La forma angolo.
  • vedi Cap. 23 e 24.

• 22-05-2014 --- 1 ora -
  • Le formule di Green, teorema 25.8 (con dimostrazine nel caso di un un dominio rettangolare in R^2).
  • Integrazione per parti, proposizione 25.10.
  • Il teorema della divergenza, cap 25.g
  • Esempi
  • Significato 'geometrico' della divergenza di un campo (25.11) (c.d.).
  • Equazioni dell'elettrostatica.
  • vedi Cap. 25.

• 26-05-2014 --- 2 ore -
  • Formula di Stokes nel piano (c.d.). Rotore di un campo in R^3. Formula di Stokes su una 2-superficie parametrizzata in R^3. Significato 'geometrico' del rotore di un campo (c.d.)

• 27-05-2014 --- 2 ore - Argomento a richiesta non facente parte del programma d'esame.
  • I teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale: controesempi, teorema di Beppe Levi, lemma di Fatou. teorema di convergenza dominata. Applicazioni alle serie e alla continuità e derivabilità di integrali dipendenti da parametri, ad esempio della funzione Gamma di Eulero.

• 29-05-2014 --- 1 ora - tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Calcolo di integrali doppi e tripli. Esercizi sul teorema di Stokes.

• 03-06-2013 --- 2 ore - tenuta dalla dott.ssa Lascialfari
  • Esercizi sul teorema di Stokes e il teorema della divergenza.

• 10-06-2014 --- 3 ore -
  • Esercizi vari: serie, funzioni implicite, domini e immegine, integrali doppi e tripli, teorema della divergenza. Campi conservativi.

Riepilogo

Lezioni denute da G. Modica : 63h

Lezioni tenute dalla dott.ssa Lascialfari 4h

Esercitazioni in aula: 6h