Classe di Ingegneria dell'Informazione Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2014-2015

Metodi Matematici e Probabilistici (9 CFU) Parte B

• Periodo: 22 settembre 2014 - 20 dicembre 2014
• Tenuto da: prof. Giuseppe Modica giuseppe.modica@unifi.it e da prof. Laura Poggiolini laura.poggiolini@unifi.it

Libri di testo e di consultazione

• [GM] M. Giaquinta, G. Modica, Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica, Pitagora editrice, Bologna, 2014.

• Uno script ingenuo per visualizzare una trasformazione f:C\to C, grid2py

• G. Modica, Brevi note di Calcolo Combinatorio, 2009.

• [MP] G. Modica, L. Poggiolini, Note di Calcolo delle Probabilità, seconda edizione, 2013, Pitagora editrice, Bologna, 2013.

Lezioni svolte

• 23-09-14 --- 2 ore -
  • Richiami di algebra lineare. R^n. Sottospazi. Basi. Prodotto righe per colonne di matrici. Applicazioni lineari. Cambiamenti di base. Formula del rango. Rango della trasposta (per una dimostrazione)
  • Vedi [GM] cap. 1, 2, 3.

• 25-09-14 --- 2 ore -
  • Determinante - Formule di Laplace e Binet. Matrice dei cofattori e determinante dell'inversa. Determinante della trasposta.
  • Autovalori e autovettori. Autospazi. Autovettori relativi ad autovalori distinti sono indipendenti.
  • Matrici simili. Determinante di un operatore lineare. Polinomio caratteristico.
  • Matrici diagonalizzabili. Potenze di una matrice diagonalizzabile.
  • Vedi [GM] cap. 5., 20.

• 26-09-14 --- 3 ore -
  • Matrici simili a matrici triangolari. Teorema di Schur (c.d.).
  • Teorema di Cayley-Hamilton ( con dimostrazione).
  • Densità delle matrici con autovalori distinti.
  • Sistemi di ricorrenze lineari. Il caso di una ricorrenza scalare.
  • Calcolo delle potenze di una matrice con il metodo di Putzer (con dimostrazione).
  • Riduzione di una ricorrenza di ordine supeiore ad un sistema del primo ordine,
  • Numeri di Fibonacci.
  • Vedi [GM] cap. 5., 20.

• 30-09-14 --- 2 ore -
  • Calcolo delle potenze di una matrice con il metodo di Putzer (con dimostrazione).
  • Prodotti scalari e spazi euclidei. Formule di Carnot e Pitagora. Diseguaglianza di Schwarz. Vettori ortonormali. Proiezione ortogonale su un sottospazio (c.d.).
  • Teorema di Riesz (c.d.).
  • Prodotti scalari in coordinate. Matrice di Gram.
  • Operatore aggiunto.
  • Vedi [GM] cap. 5.

• 02-10-14 --- 3 ore -
  • Operatore aggiunto in coordinate ortonormali.
  • Teorema dell'alternativa (c.d.).
  • Pseudo-inversa di Moore-Penrose.
  • Metodo dei minimi quadrati (c.d.). Regressione lineare (c.d.).
  • Retta di regressione lineare.
  • Prodotto scalare in coordinate. Matrice di Gram.
  • Operatore aggiunto in coordinate ortonormali.
  • Metodo dei minimi quadrati pesati (c.d.).
  • Autovettori di operatori autoaggiunti.
  • Teorema spettrale (s.d.). Decomposizione spetrale come combinazione lineare di proiettori (c.d.).
  • Caratterizzazione variazionale del minimo e del massimo autovalore di un operatore autoaggiunto. (c.d.)
  • Vedi [GM] cap. 5, 6, 7.

• 07-10-14 --- 2 ore -
  • Autospazi e autovalori delle potenze di un operatore autoaggiunto (c.d.). Radice quadrata di un operatore autoaggiunto semidefinito positivo (c.d.) per dimostrazioni alternative vedi.
  • Gli operatori A*A e AA*.
  • Valori singolari di un operatore. Norme di una matrice e valori singolari.
  • Formula di decomposizione polare (c.d.).
  • Decomposizione SVD.
  • Vedi [GM] cap. 6,7.

• 09-10-14 --- 2 ore
  • Introduzione alle serie di potenze e alle trasformate in genere.
  • Moltiplicazione di numeri complessi in forma polare.
  • Funzioni olomorfe. Differenziabilità e equazioni di Cauchy--Riemann nelle varie forme e loro significato geometrico (c.d.).
  • L'esponenziale complesso $e^z$. Descrizione. Moto circolare uniforme. Derivata.
  • Vedi [GM] cap. 8.

• 10-10-14 --- 3 ore --
  • Integrale di linea di una funzione a valori complessi. Proprietà dell'integrale.
  • Teorema fondamentale del calcolo (s.d.).
  • Condizione necessarie e sufficienti per avere una primitiva olomorfa in un dominio qualsiasi e in un rettangolo, teoremi e proposizioni 9.12, 9.13, 9.14 (s.d.)
  • Serie. Convergenza e convergenza assoluta. Raggio di convergenza e relativo teorema (s.d.).
  • Serie derivata e serie integrale. Derivazione e integrazione termine a termine delle serie di potenze (s.d.).
  • Esempi di calcolo della somme di alcune serie di potenze.
  • Vedi [GM] cap. 8, 9, 11, 12.g.

• 14-10-14 --- 2 ore --
  • Calcolo dei coefficienti a partire dalla somma.
  • Domini elementari. Teorema di Goursat (s.d).
  • Le funzioni olomorfe sono localmente somme di serie di potenze e formula sui coefficienti (s.d.).
  • Stime di Cauchy (c.d.). Teorema di Liouville (c.d.). Teorema fondamentale dell'algebra (c.d.). Zeri di funzioni olomorfe (c.d.)
  • Vedi [GM] cap. 14 e 15.

• 16-10-14 --- 2 ore --
  • Esempi di serie di potenze: esponenziale, logaritmo principale, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche. Calcolo di alcune somme.
  • Vedi [GM] cap. 12.

• 17-10-14 --- 3 ore --
  • Singolarità di una funzione olomorfa. Sviluppo in serie di Laurent (s.d.). Descrizione delle singolarità di $f$ in termini del comportamento del modulo |f|: singolarità eliminabili, polari, essenziali.
  • Residuo di una funzione in un punto.
  • Il calcolo dei residui. Il caso di poli semplici.
  • Residuo all'infinito. Il teorema dei residui nelle varie forme.
  • Calcolo di alcuni integrali con il metodo dei residui: integrali generalizzati, integrali di tipo Fourier.
  • Vedi [GM] cap. 17, 18.

• 21-10-14 --- 2 ore --
  • Esercizi sul calolo di integrali e della somma di alcune serie con il metodo dei residui.
  • Applicazioni ed estensioni della nozione di serie di potenze. Serie a coefficienti matrici. Funzioni olomorfe a valori matrici. Teorema dei reisidui.
  • Piccole oscillazioni: decomposizione del moto in somme di mori armonici, valori singolari e frequenze proprie di vibrazione.
  • vedi [GM] cap. 21 e 23.g.

• 23-10-14 --- 2 ore --
  • Applicazioni ed estenzioni della nozione di serie di potenze. $Z$-trasformata. COnvergenza di una $Z$-trasformata. Teorema dei residui. Il calcolo dei coefficienti mediante il teorema dei residui. Il caso dei numeri di Fibonacci.
  • vedi [GM] cap. 21.

• 24-10-14 --- 3 ore --
  • Applicazioni ed estenzioni della nozione di serie di potenze. $Z$-trasformata. Somma della $Z$-trasformata della serie geometrica. Risolvente. Formula di Putzer per il calcolo del risolvente.
  • Esponenziale di una matrice. Propriet\'a. Risoluzione dei sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti omogenei e non.
  • vedi [MP] appendice D.

• 24-10-14 --- 2 ore --
  • Prova parziale sugli argomenti svolti fino al 17-10-2014 incluso.
  • Soluzioni di alcuni esercizi della prova intermedia dell'esame di Metodi Matematici e Probabilistici del 24 ottobre 2014.

• 28-10-14 --- 2 ore --
  • Esponenziale di una matrice. Propriet\'a. Risoluzione dei sistemi di equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti omogenei e non.
  • Teorema di Cauchy sul prodotto di convoluzione.
  • Coefficienti binomiali e coefficienti binomiali generalizzati. Formula di inversione.
  • Problemi di conteggio: sottoinsiemi. Funzioni. Funzioni iniettive. Funzioni crescenti.
  • vedi [MP], appendice A, D e cap. 4.

• 30-10-14 --- 2 ore --
  • Problemi di conteggio: sottoinsiemi, funzioni non decrescenti, funzioni surgettive.
  • Estrazioni: semplici, con reimbussolamento, estrazioni ordinate.
  • Probabilit\`a uniforme. Probabilit\`a di un terno al gioco del lotto. Probabilit\`a di un full a poker. Paradosso dei compleanni. Esercizi vari.
  • Probabilit\`a condizionata. Formula di Bayes. Applicazione ai test medici.
  • Vedi [MP], cap. 5, 7.

• 31-10-14 --- 2 ore --
  • Spazi probabilizzati. Eventi e $\s-algebre. $\s$-algebra generata da una famiglia di sottoinsiemei. Insiemi di Borel.
  • Nozione di misura. Esempii di misure discrete: Delta di Dirac. Prova di Bernoulli. Probabilit\`a uniforme. Misura di Lebesgue. Metodo I di Caratheodory di costruzione di misure (s.d.).
  • Vedi [MP] cap 6 e appendice B.

Riepilogo

Lezioni: 39h

Seminari:

Prove parziali: 2h