Operazioni con i limiti

Per vedere in maniera unitaria tutte le definizioni di limite e dare in maniera sintetica le regole di calcolo, vogliamo dare significato a

$$\lim_{x\rightarrow \alpha}f(x)=\lambda$$

dove sia $\alpha$ che $\lambda$ possono essere numeri reali o uno dei simboli precedentemente introdotti nelle varie definizioni di limite, cioè

$$\alpha=a\in \R,\ a^-,\ a^+,\ +\infty,\ -\infty$$

$$\lambda=\ell\in \R,\ \ell^-,\ \ell^+,\ +\infty,\ -\infty.$$

Per ottenere questa unificazione definiamo gli intorni anche per i simboli

Definizione 8.1   Sia $r\in \R$, un $\delta$-intorno, $\delta >0,$ di $r^-\ (r^+)$ è un intorno sinistro (destro) di r,cioè l' intervallo

$$B(r^-,\delta)=(r-\delta,r]\quad\left (B(r^+,\delta)=[r,r+\delta) \right )$$

Un $\delta$-intorno, $\delta >0,$ di $+\infty\ (-\infty)$ è la semiretta aperta positiva (negativa)

$$B(+\infty,\delta)=(\delta,+\infty )\quad \left (B(-\infty,\delta)=(-\infty,-\delta) \right )$$

Con la convenzione stabilita nella Definizione 8.1, si può dare la seguente definizione di limite.

Definizione 8.2   Diremo che

$$\lim_{x\rightarrow \alpha}f(x)=\lambda$$

se per ogni $\varepsilon$-intorno $B(\lambda,\varepsilon)$ di $\lambda$ esiste un $\delta$-intorno $B(\alpha,\delta)$ di $\alpha$tale che

$$x\in A\cap B(\alpha,\delta),\ x\not=\alpha,\Longrightarrow F(x)\in B(\lambda,\varepsilon).$$

Rispetto ai limiti precedentemente definiti abbiamo definito anche il significato di

$$\lim_{x\rightarrow \alpha}f(x)=\ell ^\pm.$$

Lo studente verifichi che il valore del limite è $\ell ^+\ (\ell ^-)$ se la funzione tende a $\ell$ ed esiste un intorno di $\alpha$ in cui rimane maggiore (minore) di $\ell.$
Osservazione Se il limite di f è $\ell ^\pm$ allora è anche $\ell,$cioè avere per limite $\ell ^\pm$ è una proprietà ulteriore rispetto a quella di avere limite $\ell.$

Al fine di facilitare la memorizzazzione dei risultati sulla relazione esistente fra l'operazione di limite e le operazioni fondamentali fra funzioni, facciamo le seguenti convenzioni ( $\ell,\ \ell_1\in \R)$.

Tabella per la somma di limiti

$$\begin{eqnarray*}&\lambda =\ell,\ell ^\pm ,\quad \gamma =\ell_1,\ell_1 ^\pm , \q... ...ox{e}\quad -\infty +(+\infty)\quad \mbox{\bf non sono definiti}& \end{eqnarray*}$$

Tabella per il prodotto di limiti

$$\begin{eqnarray*}& \lambda =\ell,\ell ^\pm ,\quad \gamma =\ell_1,\ell_1 ^\pm , \... ...t{se}\quad \ell=0\cr +\infty & \text{se}\quad \ell<0 \end{cases}\end{eqnarray*}$$

Tabella per il reciproco del limite

$$\begin{eqnarray*}& \lambda =\ell,\ell^\pm\quad \ell \not= 0, \quad\text{poniamo}... ...nfty}=0^-,\quad \frac{1}{0^+}=+\infty,\ \frac{1}{0^-}=-\infty.& \end{eqnarray*}$$

In quanto segue consideriamo

$$f:A\rightarrow \R\ \mbox{e}\ g:B\rightarrow \R$$

$$\alpha\quad \text{{\bf punto di accumulazione per}}\ A\cap B,$$

supponiamo inoltre che

$$\lim_{x\rightarrow \alpha}f(x)=\lambda \ \ \lim_{x\rightarrow \alpha}g(x)=\gamma.$$

Teorema 8.1   Se $\lambda+\gamma$ è definito nella tabella della somma, allora

$$\lim_{x\rightarrow \alpha}(f(x)+g(x))=\lambda+\gamma$$

Se $\lambda\,\gamma$ è definito nella tabella del prodotto, allora

$$\lim_{x\rightarrow \alpha}f(x)g(x)=\lambda\gamma$$

Se $\frac{1}{\lambda}$ è definito nella tabella del reciproco, allora

$$\lim_{x\rightarrow \alpha}\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{\lambda}.$$

Lo studente deduca dal precedente teorema l'analogo risultato per il quoziente di due funzioni e dimostri dalla definizione che

$$\lim_{x\rightarrow\alpha}\vert f(x)\vert=+\infty\Longrightarrow \lim_{x\rightarrow\alpha}1/f(x)=0$$

$$\lim_{x\rightarrow\alpha}f(x)=0\Longrightarrow \lim_{x\rightarrow\alpha}1/\vert f(x)\vert=0$$

Forme indeterminate Non sono definite le seguenti operazioni fra limiti

$$+\infty-\infty,\quad 0\,(\pm\infty), \quad \frac{0}{0},\quad \frac{\pm\infty}{\pm\infty}$$

Il nome di forme indeterminate dipende dal fatto che sapere che f tende a $\lambda$ e g tende a $\gamma$ non è, nei casi su scritti, un'informazione sufficiente per determinare il limite della corrispondente operazione fra funzioni. Infatti, quando un limite si presenta in una delle precedenti forme, può avere un qualsiasi valore reale, infinito o non esistere affatto.