Limite per $x\rightarrow \pm \infty$

In quanto segue consideriamo solo il caso $x\rightarrow +\infty,$lo studente riformuli le definizioni per $x\rightarrow -\infty.$

In questo paragrafo vogliamo descrivere il comportamento di una funzione quando la variabile si allontana indefinitamente in direzione positiva, pertanto il dominio dovrà essere superiormente illimitato. Consideriamo quindi

$$f:A\rightarrow \R.$$

$$A\ \mbox {insieme superiormente illimitato}$$

I comportamenti della funzione che vogliamo distinguere, sono illustrati dai grafici delle seguenti funzioni

$$x\rightarrow \frac{1}{x},\quad\quad x\rightarrow e^x, \quad\quad x\rightarrow \sin x$$

Il valore della funzione $x\rightarrow \frac{1}{x}$ può essere reso arbitrariamente vicino a 0 se il valore della variabile è preso sufficientemente grande. Diremo che

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x}=0$$

Il valore della funzione $x\rightarrow e^x$ può essere reso arbitrariamente grande se il valore della variabile è preso sufficientemente grande. Diremo che

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty$$

La funzione $x\rightarrow \sin x$ prende tutti i valori di [-1,1] in ogni semiretta positiva. Diremo che $\sin x$ non ha limite quando x tende a $+\infty.$

Definizione 7.1   Diremo che $\ell\in \R$ è il limite  di f(x)(o equivalentemente che f(x) tende ad $\ell$) per x che tende a $+\infty,$ e scriveremo

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\ell$$

se per ogni $\varepsilon>0$ esiste un $\delta>0$ tale che da

$$x\in A,\ x>\delta$$

segua

$$\vert f(x)-a\vert<\varepsilon$$

Definizione 7.2   Diremo che $+\infty\ (-\infty)$ è limite  di f(x)(o equivalentemente che f(x) tende ad $+\infty\ (-\infty)$) per x che tende a $+\infty$e scriveremo

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty\ (-\infty)$$

se per ogni $\varepsilon>0$ esiste un $\delta>0$ tale che da

$$x\in A,\ x>\delta$$

segua

$$f(x)>\varepsilon\ (<-\varepsilon)$$

Definizione 7.3   Diremo che f(x) non ha limite per x che tende a $+\infty$ se fnon verifica nessuna delle precedenti Definizioni 7.1, 7.2.