Classe di Ingegneria dell'Informazione
Corso di laurea in Ingegneria Informatica. Anno 2012-2013
Metodi Matematici e Probabilistici (9 CFU) Parte B
Libri di testo e di consultazione
- [GM] M. Giaquinta, G. Modica, Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica, Edizione 2007,
Pitagora editrice, Bologna, 2007.
- Uno script ingenuo per visualizzare una trasformazione $f:C\to C$,
grid2py
- [MP] G. Modica, L. Poggiolini, Note di Calcolo delle Probabilita', 2011,
Pitagora editrice, Bologna, 2011.
Lezioni svolte
- 19-09-12 --- 2 ore -
- Richiami di algebra lineare. R^n. Sottospazi. Basi.
Prodotto righe per colonne di matrici.
Applicazioni lineari. Cambiamenti di base.
Matrici simili.
Formula del rango. Rango della trasposta (per una dimostrazione)
- Determinante - Formule di Laplace e Binet. Matrice dei cofattori e determinante
dell'inversa. Determinante della trasposta.
Determinante di un operatore lineare.
- Vedi [GM] Cap. 1, 2, 3.
- 21-09-12 --- 2 ore -
- Autovalori e autovettori. Autospazi. Autovettori relativi ad autovalori
distinti sono indipendenti. Polinomio caratteristico.
- Matrici diagonalizzabili.
Molteplicita' algebrica e geometrica di un autovalore.
- Matrici simili a matrici triangolari. (c.d.).
Teorema di Cayley-Hamilton (c.d. in dimensione 2 e 3).
- Vedi [GM] Cap. 5.
- 26-09-12 --- 2 ore -
- Matrici simili a matrici a blocchi e sottospazi invarianti.
Matrici complesse. Autovettori generalizzati
e decomposizione a blocchi.
- Decomposizione a blocchi di Jordan.
- Vedi [GM] Cap. 5.
- 28-09-12 --- 2 ore -
- Esercizio sulla decomposizione a blocchi di Jordan.
- Vedi [GM] Cap. 5.
- 03-10-12 --- 2 ore -
- Prodotti scalari e spazi euclidei.
Formule di Carnot e Pitagora. Diseguaglianza di Schwarz. Vettori ortonormali.
Proiezione ortogonale su un sottospazio (c.d.).
- Teorema di Riesz (c.d.).
- Vedi [GM] Cap. 5
- 05-10-12 --- 2 ore -
- Prodotti scalari in coordinate. Matrice di Gram.
- Esercizi
- Operatore aggiunto. Operatore aggiunto in coordinate.
Teorema dell'alternativa (c.d.).
- Vedi [GM] Cap. 5.
- 08-10-12 --- 2 ore -
- Metodo dei minimi quadrati (c.d.). Regressione lineare (c.d.).
Pseudo-inversa di Moore-Penrose.
- Operatori autoaggiunti.
- Vedi [GM] Cap. 5.
- 10-10-12 --- 2 ore -
- Teorema spettrale (c.d.). Decomposizione come combinazione lineare di
proiettori (c.d.). Autospazi e autovalori delle potenze di un operatore
autoaggiunto (c.d.). Radice quadrata di un operatore autoaggiunto
semidefinito positivo (c.d.).
- Vedi [GM] Cap 6., 7.
- 15-10-2012 --- 2 ore -
- Gli operatori A^*A e AA^*.
- Valori singolari di un operatore.
- Formula di decomposizione polare (c.d. nel caso di mappe iniettive).
- Decomposizione SVD.
- Applicazioni elementari.
- Vedi [GM] Cap. 6,7.
- 17-10-2012 --- 2 ore -
- Caratterizzazione variazionale del minimo e del massimo
autovalore di un operatore autoaggiunto.
- Esercizi sul calcolo della retta di regressione. Numeri di Fibonacci.
- Vedi [GM] Cap. 7,20
- 19-10-2012 --- 2 ore -
- Piccole oscillazioni attorno all'equilibrio. Frequenze proprie.
- Vedi Note.
- 22-10-2012 --- 2 ore -
- Misure astratte. Misura esterna. Insiemi misurabili.
Continuita'. Costruzione di misure con il metodo I
di Caratheodory (s.d.). Teorema di estensione (s.d.).
Criterio di coincidenza (s.d.).
- Misura di Lebesgue in R^n.
- Vedi [LP] Appendice B.
- 26-10-2012 --- 2 ore -
- Definizione di integrale. Approssimazione di una funzione misurabile
con funzioni semplici (c.d.). Teorema di Beppo Levi (c.d.).
Formula di Cavalieri.
Insiemi di misura nulla. Diseguaglianza di Chebyshev e conseguenze.
- Qualche esempio: misure discrete.
- 05-11-2012 --- 2 ore -
- Serie di potenze. Esempi. Varie formule sui coefficienti binomiali.
- Limite superiore e inferiore. Esempi.
- Raggio di convergenza di una serie di potenze e teorema relativo
(c.d.)
- 12-11-2012 --- 2 ore -
- Derivazione termine a termine delle serie di potenze.
Calcolo dei coefficienti a partire dalla somma.
- Funzioni olomorfe. Equazioni di Cauchy-Riemann. Esponenziale
complesso. Integrale lungo una curva di una funzione olomorfa.
Teorema fondamentale del calcolo (s.d.). Teorema di Goursat (s.d.)
Le funzioni olomorfe sono localmente somme di serie di potenze
e formula sui coefficienti (s.d.)
- 16-11-2012 --- 2 ore -
- Stime di Cauchy. Teorema di Liouville (c.d.). Teorema fondamentale
dell'algebra (c.d.). Gli zeri di una funzione olomorfa sono isolati
(c.d.)
- Singolarita' di funzioni olomorfe. Sviluppi in serie attorno
ad un punto singolare. Definizione di residuo.
Calcolo nel caso di poli semplici. Teorema dei residui (s.d.).
- 19-11-2012 --- 2 ore -
- Un esempio di calcolo di integrali con il metodo dei residui.
Le funzioni sin z, cos z. La funzione determinazione principale
del logaritmo complesso e suo sviluppo in serie di potenze.
- Esercizi sul calcolo della somma di serie di potenze.
- 23-11-2012 --- 2 ore -
- Calcolo della somma di serie con il metodo dei residui.
- Il calcolo della somma della serie $\sum 1/n^2$.
- vedi [GM] cap. 18.
- 26-11-2012 --- 2 ore -
- Sistemi di ODE lineari a coefficienti costanti. Problema ai valori iniziali.
Risuzione al caso dei sistemi del primo ordine. Unicita' della soluzione
per il problema ai valori iniziali: lemma di Gronwall (c.d.).
- Esponenziale di una matrice e proprieta'. Formula risolutiva.
- vedi [MP] Appendice C.
- 30-12-2012 --- 2 ore -
- Calcolo di e ^{Qt} . Metodi di similitudine (c.d.). Metodo di Putzer (c.d.)
- Semigruppi continui e esponenziale di matrici (c.d.)
- vedi [MP] Appendice C.
- 10-12-2012 -- 2 ore -
- Grafi orientati e matrici a termini nonnegativi. Archi e cammini.
Relazioni con le potenze della matrice associata (c.d.)
- Vettori e matrici stocastiche di dimensione finita: classi assorbenti,
classi comunicanti, classi assormenti minimali, forma canonica.
Stati transienti e stati ricorrenti.
- vedi [MP] Cap. 15, 17.
- 13-12-2012 --- 2 ore -
- Potenze di una matrice stocastica in forma canonica e loro serie (c.d.)
- Punti fissi. Teorema di Perron-Frobenius (c.d.).
- Pozzi e punti fissi.
- Teorema di punto fisso di Banach (c.d.). Cenno alla risoluzione
iterata di (sistemi di) equazioni.
- Processi stocastici discreti. Matrice di transizione.
- Matrici stocastiche regolari e convergenza all'equilibrio (c.d.).
- Cenno agli autovalori delle matrici stocastiche.
- vedi [GM] cap. 22 e [MP] cap. 17.
- 14-12-2012 --- 2 ore -
- Processi stocastici a tempo discreto e stati al pi\`u numerabili.
Matrici di ptransizione. Processi omogenei.
- Proprieta' di Markov. Varie enunciazioni. Proprieta' del rinnovo.
Calcolo delle probabilita' congiunte mediante le matrici di
transizione.
- Simulazione ed esistenza di catene di Markov con stato iniziale e
matrici di transizione assegnata.
- Vedi [MP] cap 18 e file qui allegato.
- 17-12-2012 --- 2 ore -
- Calcolo di alcuni parametri tipici di catene di Markov
a tempo discreto e stati finiti: probabilita' di ritorno in
uno stato, probabilita' di una o piu' visite in uno stato,
numero medio di visite in uno stato, tempo medio di ritorno
in uno stato.
- Matrici stocastiche regolari e teorema dei rinnovi.
- vedi [MP] cap. 19.
- 20-12-2012 --- 2 ore -
- Processi stocastici a tempo continuo e stati discreti. Omogeneita'. Matrice di transizione.
Catene di Markov a temo continuo e stati discreti omogenee. Equazioni di Chapmann-Kolmogorov.
Processi continui da destra. Semigruppi. Evoluzione della matrice di transizione.
Metodo di uniformizzazione per il calcolo approssimato della matrice di transizione.
- vedi [MP] cap. 22.
Riepilogo
Lezioni: 50h
Seminari: