Anal. mat. I - Esercizi del 20/11/98

ES.1 L'affermazione: Sia $f:I\rightarrow \R$ derivabile, allora f é decrescente se e solo se f'< 0 su I é vera o falsa?
ES.2 $f:I\rightarrow \R$ si dice Lipschitziana in I se esiste k>0 tale che

$$\vert f(x)-f(y)\vert\leq k\vert x-y\vert,\quad \forall x,y\in I.$$

Dimostrare che se $f:[a,b]\rightarrow\R$ è C¹, allora è Lipschitziana (usare il teorema di Lagrange).
Verificare che il valore assoluto è Lipschitziana in [-7,7].
ES.3 Verificare che la funzione $f:[-1,3]\rightarrow \R\ x\mapsto (x^2+1)^{(x+2)}$è invertibile e determinare D⁴f^-1(0).
I seguenti esercizi sono parte di prove di esame per l'Anno Accademico 97/98
ES.4

$$\mbox {Sia} \hspace*{2cm} f(x)= \left\{\begin{array}{ll} x^... ...{se $x > 0$}\\ x^4 & \mbox{se $ x \leq 0$} \end{array}\right.$$

Determinare il massimo k per cui $f\in C^k$ in un intorno di 0
ES.5 Sapendo che $f\in C^\infty(\R)$ e che

$$f(x)=x+\frac{x^3}{3}+o(x^4)$$

a) Determinare f⁽³⁾(0),
b) Quante derivate di (f(x))² in x=0 posso determinare?
c) Esprimere in forma di Lagrange

f(1)-1-1/3

ES.6 Sapendo che $f\in C^\infty(\R)$ e che

$$f(x)=2(x-1)^2+\frac{7}{12}(x-1)^4+o((x-1)^6)$$

a) Determinare f⁽⁴⁾(1)
b) Determinare f⁽⁵⁾(1)
c) Quante derivate in x=1 posso determinare?
d) Esprimere in forma di Lagrange

$$f(2)-2-\frac{7}{12}$$

ES.7 a) Determinare il polinomio di Taylor di grado 4 in 0della funzione

f(x)=e^x+2x2-x-5x²/4

b) Posso decidere se f(0) e' massimo o minimo relativo per la funzione usando la risposta al punto a)? In caso affermativo indicare cosa sia.
ES.8) a) Determinare il polinomio di Taylor di grado 4 in 0della funzione

$$f(x)=cos(x+2x^2)+x^2/2+2x^3+47\,x^4/24$$

b) Posso decidere se f(0) e' massimo o minimo relativo per la funzione usando la risposta al punto a)? In caso affermativo indicare cosa sia.
ES.9) Calcolare al variare di $\alpha\in \R\ ,\alpha >0$

$$\lim_{n\rightarrow +\infty} \left(cos\frac{1}{n^\alpha}\right)^n$$