Anal. mat. I - Esercizi del 27/11/98

I seguenti esercizi sono stati proposti il 17/11/97
2) Determinare numero e segno delle soluzioni della seguente equazione

(4x³+7x²-6x+7) lg(x+1/2)=0

 
3) Studiare e disegnare il grafico in [0,1] della funzione

$$f(x)=cos\left ( \frac{1}{lg(2x)}\right )$$

4) Data la funzione

$$\sqrt[3]{\frac{(x-1)^2}{1+(x-1)^4}}$$

i) verificare che e' continua su tutto R e determinare dove e' positiva, negativa o nulla
ii) calcolare i limiti per $x\rightarrow \pm\infty$
iii) dedurre che la funzione ammette max e min assoluti e calcolarli
iv) disegnare il grafico
 
5) Sia $f:R\rightarrow R$ derivabile e tale che

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}f'(x) = 0.$$

Provare che

$$\lim_{x\rightarrow +\infty}(f(x+3)-f(x-2)) = 0$$

6) Trovare l'insieme dei $\lambda\in \R$ per i quali la seguente equazione ha almeno una soluzione positiva

$$xe^{-x}+2\lambda=0$$

7) Calcolare f⁽⁵⁾(-1), se

$$f(x)=\frac{(x+1)^3+(x+1)^5cos\pi x}{2+(x+1)^9e^x}.$$

Si consiglia di calcolare il polinomio di Taylor usando come nuova variabile l'incremento rispetto a -1.
 
8) Studiare la convergenza delle seguenti successioni

$$n\mapsto\frac{1}{n-2}\left (n-\frac{1}{sen(1/n)}\right )$$

$$n\mapsto\left (\frac{nlg(n+n^2)-n^2}{cosn-ne^n} \right )^n$$

9) Studiare al variare di $\alpha\in R$ la convergenza delle successioni

$$n\mapsto n^\alpha(1-(cos\frac{2}{n})^{tg(1/n)})$$

$$n\mapsto\frac{(\alpha^2)^n}{\vert 2\alpha\vert^n+\vert\alpha^2-3\vert^n}$$