Anal. mat. I - Esercizi del 13/11/98

ES.1 Determinare l'immagine delle funzioni che compaiono nei precedenti esercizi.
ES.2 Determinare estremo superiore, estremo inferiore ed gli eventuali massimi e minimi relativi e assoluti delle funzioni che compaiono nei precedenti esercizi.
ES.3 Determinare l'insieme in cui le seguenti funzioni sono derivabili e calcolare la derivata. Calcolare inoltre le eventuali derivate destre e sinistre ed gli eventuali punti a tangente verticale, tutte le funzioni devono intendersi estese per continuita' ove e' possibile.

$$x\mapsto (1+1/\vert x-1\vert)^{1/x},\quad\quad x\mapsto \arct... ...d\quad x\mapsto \exp((-1/x)^2),\quad\quad x\mapsto \log(x^2-2x)$$

$$x\mapsto e^{(x-1)}\sin(\pi /2+x\,\pi),\quad\quad x\mapsto \fr... ...)^{\arctan(x)} ,\quad\quad x\mapsto \frac{\vert x-7\vert+1}{x},$$

$$x\mapsto \exp(-\frac{1}{\vert x\vert^3}) \quad\quad x\mapsto \exp(\vert x\vert sin\,x)$$

ES.4 Sia $f:(a,b)\rightarrow \R,$ continua e derivabile, dimostrare che se

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow b}f(x)= +\infty$$

allora f ha un punto con derivata zero.
ES.5 Sia $f:(a,b)\rightarrow \R,$ una funzione crescente (decrescente)e derivabile, posso affermare che la sua derivata non si annulla?.
I seguenti esercizi sono parte di prove di esame per l'Anno Accademico 97/98
ES.6 Continuazione dell'Es.9 del 6/11/98

$$\mbox{Definiamo} \hspace*{5cm} f(x)=\frac{6\, e^x}{1+4\, e^{2x}} .\hspace*{5cm}$$

c) Determinare gli eventuali punti di max e min relativo e assoluto
d) Disegnare il grafico della funzione
e) Giustificare l'affermazione : f_{|[-1 ,1]}ha massimo e minimo assoluti e calcolarli
g) Determinare al variare di $a\in \R$ il numero ed il segno delle soluzioni di

f(x)=a

h) Facoltativo. Disegnare sul retro il grafico della funzione

g(x)=f(x) - [f(x)],

si ricordi che [y] e' la parte intera di y.
ES.7

$$\mbox {Sia} \hspace*{5cm} f(x)=lg\frac{\vert 2-x\vert+1}{x} \hspace*{5cm}$$

a) Giustificare l'affermazione: f ha massimo e minimo in [1,3]e calcolarli
b) Disegnare il grafico della funzione e determinarne l'immagine e gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e assoluto
ES.8 Determinare al variare di $a\in \R$ numero e segno delle radici reali del seguente polinomio.

$$-\frac{x^4}{4} +\frac{x^3}{3}+x^2+a.$$

ES.9 Determinare al variare di $a\in \R$ numero e segno delle radici reali del seguente polinomio.

$$x^4 +2a\frac{x^3}{3}+\frac{1}{16}.$$