Anal. mat. I - Esercizi del 6/11/98

ES.1 Determinare gli eventuali limiti delle seguenti successioni

$$n\mapsto (1+1/n)^{1/n},\quad\quad n\mapsto \arctan\sqrt{\frac... ...d\quad n\mapsto \exp((-1/n)^2),\quad\quad n\mapsto \log(n^2-2n)$$

$$n\mapsto e^{(n-1)}\sin(\pi /2+n\,\pi),\quad\quad n\mapsto \frac{\vert 2-n\vert+1}{n},\quad\quad n\mapsto (1-2/n)^{\arctan(n)}$$

ES.2 Determinare per quali delle funzioni che compaiono nei precedenti esercizi posso decidedere se l'immagine è un intervallo limitato o illimitato in base al calcolo dei limiti e alle proprietà delle funzioni continue su intervalli.
ES.3 Determinare per quali delle funzioni che compaiono nei precedenti esercizi posso decidedere sull'esistenza di massimo e minimo in base al calcolo dei limiti e alle proprietà delle funzioni continue su intervalli.
ES.4 Sia $f:(a,b)\rightarrow \R,$ continua dimostrare che se

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow b}f(x)= +\infty$$

allora f ha minimo e non ha massimo. (Suggerimento: aiutarsi con l'intuizione per capire come la definizione di limite $=+\infty$ permetta di restringere la funzione ad un sottointervallo chiuso e applicare il teorema di Weierstrass).
ES.5 Sia $\alpha=a\in \R,a^+,a^-,\pm\infty$ punto di accumulazione per $\D f,$dimostrare che se

$$\lim_{x\rightarrow \alpha}f(x)=-\infty,$$

allora f e' inferiormente illimitata.
ES.6 Sia $f:(a,b)\rightarrow \R,$ una funzione monotona. Dimostrare che se f e' discontinua in $x_0\in (a,b),$allora f(x₀) e' l'unico punto dell'intervallo di estremi $\lim_{x\rightarrow x_0^-}f(x)\quad \text{e}\quad \lim_{x\rightarrow x_0^+}f(x)$che appartiene all'immagine di f.
ES.7 Sia $f:(a,b)\rightarrow \R,$ una funzione crescente (decrescente) la cui immagine e' $(1,+\infty).$ Calcolare $\lim_{x\rightarrow a}f(x)\quad \text{e}\quad \lim_{x\rightarrow b}f(x).$Dimostrare che la funzione e' continua (usare il precedente esercizio).
ES.8 Provare che non esiste una funzione continua $f:\R\rightarrow \R,$ tale che

$$\sin x=2x+x^2f(x)$$

e trovarne una tale che

$$\sin x=2x+x\,f(x).$$

ES.8 Per quali valori di $\lambda\in \R$ le seguenti funzioni ammettono asintoti obliqui?

$$x\mapsto \sqrt{\sin^3x+(1-\lambda^2)x^2+1}\quad\quad x\mapsto \frac{\lambda x^4 +(2+\lambda)x^3 -x^2 }{3x^2-1}$$

I seguenti esercizi sono parte di prove di esame per l'Anno Accademico 97/98
ES.9

$$\mbox{Definiamo} \hspace*{5cm} f(x)=\frac{6\, e^x}{1+4\, e^{2x}} .\hspace*{5cm}$$

a) Determinare il dominio di f e le equazioni degli eventuali asintoti
b) Giustificare l'affermazione : f_{|[-1 ,1]}ha massimo e minimo assoluti
......
ES.10 Dare la definizione di $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0$e verificare, usando la definizione, che

$$\lim_{x\rightarrow -\infty}1/(x^2-1)=0$$