Anal. mat. I - Esercizi del 20/10/98

ES.1 Determinare quali delle funzioni che compaiono negli esercizi del 10/10/98 sono invertibili e calcolare le eventuali inverse e il loro dominio. Stesso esercizio considerando le restrizioni delle precedenti funzioni alla semiretta $(0,+\infty)$
ES.2 Sia $f : A \subseteq \R \rightarrow \R$ limitata e $g : B \subseteq \R \rightarrow \R$ tale che $g(x)\rightarrow 0$per $x\rightarrow a.$ Supponendo che a sia di accumulazione per $A\cap B,$dimostrare che

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)=0$$

ES.3 Dimostrare che

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0 \Longleftrightarrow \lim_{x\rightarrow a}\vert f(x)\vert=0$$

ES.4 Delle funzioni che compaiono negli esercizi del 10/10/98 e delle seguenti funzioni determinare il dominio e l'insieme dove sono continue. Determinare inoltre gli eventuali asintoti verticali e quali di esse siano estendibili per continuita'. Classificare inoltre le eventuali discontinuita'.

$$x\mapsto \frac{3x-[x]}{x},\quad\quad x\mapsto \frac{\sin(x)}{... ...o e^{(-1/\vert x\vert)},\quad\quad x\mapsto (\log(1+x^2))^{x+1}$$

$$x\mapsto e^{(x-1)\,\ln\,\vert x+2\vert},\quad\quad x\mapsto \... ...c{\vert 2-x\vert+1}{x},\quad\quad x\mapsto (1-x^2)^{\arccos(x)}$$

$$x\mapsto \vert\sqrt[3]{x-3}\vert+1 ,\quad\quad x\mapsto \frac... ...qrt[4]{1-\sin\,x}},\quad\quad x\mapsto \vert\cos(x)\vert^{[x]}$$

$$x\mapsto \begin{cases} \frac{\sin(x)}{\sqrt[3]x}\quad&\text{s... ...ext{se}\quad x\not= 0\cr -3\quad&\text{se}\quad x=0 \end{cases}$$

ES.5 Determinare per quali valori dei parametri le seguenti funzioni sono continue

$$x\mapsto \begin{cases} \frac{a+\cos(x)}{\sqrt[3]x}\quad&\text... ...quad x\in [1,2] \cr 3-x\quad&\text{se}\quad x>2 \cr \end{cases}$$

ES.6 i) Determinare i valori $a,b\in R$ che rendono continua su tutto R la funzione

$$x\mapsto f(x)= \left\{\begin{array}{lll} e^x & \mbox{se $x\g... ...0$ }\\ -\arctan(x) & \mbox{se $x\leq -1$ } \end{array}\right.$$

Per la funzione determinata al punto i) :
ii) determinare eventuali asintoti verticali e gli intervalli di crescenza o decrescenza (usare le proprieta' delle funzioni elementari)
iii) disegnare il grafico e determinare, se esistono, massimo e minimo
iv) la f e' invertibile? Lo e' qualche sua restrizione? In caso affermativo determinare l'inversa.
 
ES.7 Usando la definizione, verificare che

$$\lim_{x\rightarrow 0}e^{-1/x^2}=0$$

ES.8 Dimostrare che se

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty$$

allora

$$\lim_{x\rightarrow a}e^{f(x)}=0,\quad\quad \lim_{x\rightarro... ...f(x))=-\pi/2,\quad\quad \lim_{x\rightarrow a}arccotan(f(x))=\pi$$

Quanto vale

$$\lim_{x\rightarrow a}(0.5)^{f(x)}$$