Limite destro e sinistro

Se consideriamo la funzione $x\mapsto sgnx,$ che ha una discontinuità in 0, osserviamo che la funzione vale 0 in 0, ma il suo valore tende a -1 se la variabile tende a 0 per valori negativi (da sinistra), mentre tende a 1 se la variabile tende a 0 per valori positivi (da destra). Usando la definizione di limite e ricordando la definizione di restrizione di una funzione, possiamo verificare facilmente che

$$\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}sgn_{\vert\R^+}(x) &=1,\\ \lim_{x\rightarrow 0}sgn_{\vert\R^-}(x) &=-1, \end{eqnarray*}$$

che è la traduzione matematica del concetto intuitivo di avvicinarsi a 0 da destra e da sinistra.

Definizione 5.1   Consideriamo la funzione $f:A\rightarrow \R$ e a punto di accumulazione sinistro A. Diremo che $\ell\in \R$ è il limite sinistro  di f(x) (o equivalentemente che f(x) tende da sinistra ad $\ell$) per x che tende a a e scriveremo

$$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=\ell$$

se

$$\lim_{x\rightarrow a}f_{\vert(-\infty,a)\cap A}(x) =\ell.$$

Come utile esercizio di applicazione della definizione di limite, dare una equivalente definizione di limite sinistro in termine di intorni e intorni sinistri. La definizione di limite destro 

$$\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\ell$$

è del tutto analoga e viene lasciata per esercizio.

Se

$$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)=f(a)$$

si dice che la funzione è continua a sinistra  . Analogamente se

$$\lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=f(a)$$

si dice che la funzione è continua a destra.  

Ad esempio la funzione sgn non è continua nè a destra nè a sinistra, mentre la funzione parte intera è continua a destra.

Dopo una semplice riflessione sulle definizioni di limite e limite destro e sinistro possiamo affermare che

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\ell\quad\text\quad\Longleftrightar... ...d \lim_{x\rightarrow a^-}f(x)= \lim_{x\rightarrow a^+}f(x)=\ell$$

Questo risultato è particolarmente utile per verificare la continuità di una funzione definita a tratti.

Esempio 7   Vogliamo determinare per quali valori di $k\in \R$ è continua la seguente funzione

$$x\mapsto f(x)= \begin{cases} e^{-kx}\quad &\text{se}\quad x\geq 1\cr x^2+2\quad &\text{se}\quad x< 1 \end{cases}$$

La funzione coincide con funzioni continue sulle semirette aperte $(1,+\infty)$e $(-\infty,1),$ quindi è continua in $\R-\{0\}.$

Inoltre, per la continuità della funzione esponenziale, otteniamo

$$\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+}e^{-kx}=e^{-k}=f(1).$$

D'altra parte

$$\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-}x^2+2=3,$$

quindi otterremo che la funzione è continua per x=1 se esolo se

$$e^{-k}=\lim_{x\rightarrow 1^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-}f(x)=3,$$

cioè per

$$k=-\log(3).$$