Limite e continuità

Confrontando la definizione di limite con quella di continuità, risulta evidente che, se a appartiene a D(f) ed è un suo punto di accumulazione, f è continua in a se e solo se

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a).$$

Col linguaggio dei limiti possiamo anche dire che f è continua in ase e solo se l'errore

$$E(x)=\vert f(x)-f(a)\vert\rightarrow 0\quad\mbox{per}\quad x\rightarrow a.$$

Esempio 5   Verifichiamo con la definizione che, come il grafico suggerisce,

$$\lim_{x\rightarrow 0}x\sin\frac{1}{x}=0.$$

Poichè se $x\not=0$ si ha

$$\left\vert x\sin\frac{1}{x} \right\vert\leq \vert x\vert,$$

fissato $\varepsilon,$ ottengo che

$$x\not=0,\ \vert x\vert<\delta=\varepsilon\Longrightarrow \left\vert x\sin\frac{1}{x} \right\vert<\varepsilon$$

ed il limite è verificato.

Se $a\not\in D(f),$ ma $f(x)\rightarrow\l$ per $x\rightarrow a,$possiamo estendere f a $\tilde f : D(f)\cup\{a\} \subseteq R \rightarrow R$ con

$$x\mapsto \begin{cases} f(x) & \text{se}\quad x\in D(f)\cr \l & \text{se}\quad x=a \end{cases}$$

ottenendo una funzione continua. Si dice che f è estesa per continuità e usualmente l'estensione è ancora indicata con lo stesso simbolo. Ad esempio, la funzione $x\mapsto x\sin(1/x)$ si considera definita su tutto $\R$, con valore 0 in 0.

Esempio 6   Osserviamo il Grafico disegnato per punti della funzione

$$x\mapsto \frac{\sin x}{x}$$

Il grafico di questa funzione è rappresentato da una linea molto liscia e, anche se la formula non definisce un numero per x=0,siamo portati a dire che siamo in presenza di una funzione continua che ha valore 1 per x=0, questa idea intuitiva è resa precisa dalla verifica del limite. Se verifichiamo che

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} =1,$$

possiamo considerare il dominio della funzione tutto l'asse reale ed il suo valore in 0 uguale ad 1.

Per la verifica è necessaria la disuguaglianza

$$\sin x< x< \tan x\ \ \forall x\in (0,\pi/2)$$

che si ottiene con cosiderazioni di geometria elementare. Da questa disuguaglianza dividendo per $\sin x,$ considerando i reciproci e tenendo conto che $\sin (-x)=-\sin x,$si ottiene

$$1>\frac{\sin x}{x}>\cos x\ \ \forall x\in (-\pi/2,\pi/2),\ x\not=0$$

da cui

$$\left \vert\frac{\sin x}{x}-1\right \vert=1-\frac{\sin x}{x}<1-\cos x= 2(\sin (x/2))^2< 2(x/2)^2=x^2/2.$$

Se scegliamo un qualsiasi numero reale $\varepsilon>0,$ possiamo definire

$$\delta =\min\{\pi/2\ ,\ \sqrt{\varepsilon}/2\}$$

e la precedente disuguaglianza ci dice che

$$x\in \R,\ x\not=0,\ \vert x\vert<\delta\Longrightarrow \left \vert\frac{\sin x}{x}-1\right \vert<\varepsilon.$$

La definizione di limite è quindi verificata.