Limite finito per $x\rightarrow a$

Abbiamo visto come la continuità in un punto sia una propreietà di regolarità del comportamento di una funzione. Se a è un punto di discontinuità o un punto che non appartiene al dominio, abbiamo bisogno di un concetto che descriva il comportamento della funzione vicino ad esso, introdurremo per questo il concetto di limite e la sua relazione con la continuità. Questo concetto serve a descrivere il comportamento delle immagini di una funzione quando la variabile si avvicina (tende) ad un punto punto di accumulazione a del suo dominio. Va sottolineato che la funzione può non essere definita nel punto, ma che a deve essere di accumulazione per il dominio perché abbia senso l'idea dinamica di avvicinarsi.

Definizione 3.1   Consideriamo una funzione $f : A \subseteq R \rightarrow R$e sia a un punto di accumulazione per A. Diremo che $\l\in \R$ è il limite  di f(x)per x che tende a a, e scriveremo

$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\l$$

se per ogni $\varepsilon>0$ esiste un $\delta>0$ tale che:

$$\text{per ogni}\quad x\in A,\ x\not=a\quad \text{con}\quad \v... ...<\delta \quad\text{segue}\quad \vert f(x)-\l \vert<\varepsilon,$$

o equivalentemente in termini di intorni

$$x\in A\cap S(a,\delta),\ x\not=a, \Longrightarrow f(x)\in S(f(a),\varepsilon).$$

Una scrittura equivalente è

$$f(x)\rightarrow \l\quad\mbox{per}\quad x\rightarrow a$$

che si legge: f(x) tende ad $\l$ per x che tende ad a.

Nota 1   La condizione $x\not= a$ è da considerarsi solo se $a\in A,$ comunque il valore f(a) della funzione in anon ha nessuna influenza sull'esistenza del limite o sul suo valore.

Nota 2 (Unicità del limite)   È facile vedere che se a non fosse un punto di accumulazione per A, ogni numero reale verificherebbe la definizione di limite di f(x) per x che tende ad a.Al contrario avendo richiesto che a sia un punto di accumulazione si ha che il limite di f(x) per x che tende ad a se esiste, allora è unico.