Classi di funzioni continue

È naturale chiedersi se le funzioni elementari godono delle proprietà di continuità che i loro grafici ottenuti per punti suggeriscono. Enunceremo queste proprietà nel teorema seguente, che daremo senza dimostrazione, alcuni casi particolari saranno verificati in sede di esercizi.

Teorema 2.1   Le funzioni elementari sono continue nel loro insieme di definizione ad eccezione delle funzioni:

• segno $x\mapsto sgn(x)$ che è discontinua in 0
• parte intera $x\mapsto [x]$ che è discontinua in ogni $a\in \Z$

Decidere della continuità di una funzione usando la defizione è poco pratico, per questo il passo successivo sarà quello di ampliare la classe delle funzioni continue , studiando le operazioni per le quali la proprietà si conserva. Ad esempio dal precedente teorema sappiamo che

$$x\mapsto x,\ x\mapsto x^2,\ x\mapsto e^x$$

sono continue in ogni punto di $\R,$ ma cosa posso dire di

$$x\mapsto x+x^2,\ x\mapsto e^x/x,\ x\mapsto e^{x^2}?$$

Nel seguente teorema raccogliamo le proprietà delle funzioni continue rispetto alle operazioni fra funzioni.

Teorema 2.2   Siano f e g funzioni continue in a, allora f+g e fg sono continue in a, se inoltre $f(a)\not=0,$allora anche 1/f è continua in a.

Sia f continua in a e g continua in f(a), allora $g\circ f$ è continua in a.

Alcune conseguenze immediate del teorema che vale la pena di sottolineare sono raccolte nel seguente

Corollario 2.3  

• Se f è continua in a e $\l\in \R,$ allora $\l f$è continua in a.
• I polinomi sono funzioni continue su $\R.$
• Le funzioni razionali sono continue nel loro insieme di definizione, cioè in tutti i punti in cui il denominatore non si annulla

Un'altro importante strumento per riconoscere le funzioni continue è il fatto che la continuità in un punto è una proprietà locale, cioè dipende solo da valori della funzione sufficentemente vicino al punto. Formalizziamo questo concetto vago con il seguente risultato.

Lemma 2.4  

• Sia $f : A \subseteq R \rightarrow R$ continua in $a\in A$ e sia $a\in B\subseteq A,$ allora f_|Bè continua in a.
• $f : A \subseteq R \rightarrow R$ è continua in $a\in A$ se e solo se esiste un intorno $I=S(a,\delta)$tale che $f_{\vert I\cap A}$ è continua in a.

La dimostrazione del Lemma è una semplice rilettura della definizione di continuità e la lasciamo per esercizio, diamo invece un esempio che illustra come questo risultato possa essere usato.

Esempio 4   Studiamo la continuità della funzione definita da

$$f: x\mapsto \begin{cases} e^x & \text{se}\quad x>0\\ 2x+1 & \text{se}\quad x\leq 0.\\ \end{cases}$$

Il Lemma precedente ci dice che la funzione è continua in $\R-\{0\};$ infatti, se a>0esiste un intorno $S(a,\delta)$ su cui f coincide con la funzione esponenziale che è continua, se a<0 esiste un intorno $S(a,\delta)$ su cui f coincide con un polinomio che sappiamo essere continuo.

Resta solo da analizzare la continuità in a=0.Poichè f(0)=1, per verificare la continuità in 0, considero $\varepsilon>0$ e studio le disequazioni

$$\begin{eqnarray*}&\vert e^x-1\vert<\varepsilon\quad x>0&\\ &\vert 2x\vert<\varepsilon\quad x\leq 0& \end{eqnarray*}$$

che hanno come soluzione rispettivamente

$$\begin{eqnarray*}&0<x<\log(1+\varepsilon)&\\ &-\varepsilon/2< x\leq 0.& \end{eqnarray*}$$

Si osserva che $\log(1+\varepsilon)>0,$ quindi possiamo scegliere $\delta=\min\{\varepsilon/2,\log(1+\varepsilon/2)\}>0,$ ottenendo la continuità della funzione in 0 e quindi su tutto $\R.$