Definizione di continuità

Intuitivamente, diciamo che una funzione f è continua in un punto a se l'errore |f(x)-f(a)| che commetto nel considerare f(x)uguale al suo valore in a può essere reso arbitrariamente piccolo purchè la variabile x sia sufficientemente vicina ad a. Le parole arbitrariamente piccolo e sufficientemente vicino sono vaghe e dovranno essere quantificate con una definizione precisa.

Definizione 1.1   Sia $f : A \subseteq R \rightarrow R$ e sia $a\in A.$

• Diremo che f è continua in a  se per ogni $\varepsilon>0,$ esiste $\delta>0$ tale che:
  
  $$\text{per ogni}\quad x\in A \ \text{con}\ \vert x-a\vert<\delta\quad\text{segue che}\quad \vert f(x)-f(a)\vert<\varepsilon$$
  
  
  o equivalentemente in termini di intorni
  
  $$x\in A\cap S(a,\delta)\Longrightarrow f(x)\in S(f(a),\varepsilon),$$
  
  
  a volte per sottolineare il fatto che $\delta$ dipende dalla scelta di $\varepsilon$scriveremo $\delta=\delta(\varepsilon).$
• Diremo che f è continua nell'insieme $B\subseteq A$ se è continua in ogni punto $a\in B.$
• Diremo che f è discontinua in $a\in A$, se non è continua in a.

Mentre l'idea intuitiva di continuità sembra ovvia, la sua precisa formulazione analitica può sembrare inizialmente difficile da comprendere a chi non è abituato all'uso dei quantificatori. Tuttavia è indispensabile avere un preciso significato per la parola continuità ed il lettore imparerà ad apprezzare la precisione logica del linguaggio matematico.

Per aiutare la comprensione della definizione analitica con l'intuizione, si noti che la traduzione matematica di errore arbitrariamente piccolo è ottenuta mediante il quantificatore ogni, che rende arbitraria la scelta dell'errore $\varepsilon,$ mentre il quantificatore esiste traduce il sufficientemente vicino e indica che l'ampiezza $\delta$dell'intorno su cui vale l'approssimazione, deve essere scelta in dipendenza da $\varepsilon.$

Come facile verifica della definizione di continuità osserviamo che una funzione costante

$$f:x\mapsto \l$$

è continua in ogni punto $a\in D(f)$. Infatti l'errore |f(x)-f(a)| è sempre 0,quindi qualunque sia $\varepsilon$ possiamo scegliere sempre lo stesso $\delta$ ad esempio $\delta=1.$

Un secondo semplice esempio è dato dalla funzione identità

$$\imath : x\mapsto x$$

che è continua in ogni punto $a\in \R.$ In questo caso, dato $\varepsilon$ si può scegliere $\delta=\varepsilon$ (ma anche $\delta=\varepsilon/2,\ \varepsilon/4$ ed ogni altro $\delta<\varepsilon$).

Il prossimo esempio è più complicato, ma è anche indicativo del metodo da usare per verificare la continuità mediante la definizione.

Esempio 1   Vogliamo verificare che la funzione

$$f:x\mapsto \frac{2x^2-x+1}{x^2+1}$$

è continua in a=0, dove vale 1.
Per prima cosa fissiamo $\varepsilon$ e consideriamo la disequazione

$$\vert f(x)-f(a)\vert<\varepsilon.$$

In generale non è necessario risolvere la disequazione (cioè trovarne tutte le soluzioni), ma è sufficiente verificare che fra le soluzioni ci sono i punti di un intorno di a. Nel nostro caso la disequazione diventa

$$\left \vert\frac{2x^2-x+1}{x^2+1}-1\right \vert =\left \vert \frac{x(x-1)}{x^2+1}\right \vert<\varepsilon.$$

La disequazione può essere lunga da risolvere, ma a noi interessa che sia verificata in un intorno di 0 e per questo è sufficiente osservare che

$$\vert x\vert<1\Longrightarrow \left \vert\frac{x(x-1)}{x^2+1}... ... \vert =\frac{\vert x\vert\vert x-1\vert}{x^2+1}<2\vert x\vert,$$

quindi

$$\text{se}\quad \vert x\vert<\min\{1,\varepsilon/2\}\quad \text{allora} \quad \left \vert f(x)-f(0)\right\vert<\varepsilon.$$

Abbiamo così verificato che per ogni $\varepsilon,$ esiste $\delta=\min\{1,\varepsilon/2\}$ che verifica la condizione di continuità.

Nell'esempio precedente abbiamo usato la definizione per verificare la continuità in un punto interno al dominio, ma è facile anche vedere che una funzione f è continua in ogni punto $a\in D(f)$ che sia isolato. La definizione in questo caso appare inutile, ma viene data in generale per tener conto delle situazioni che possono capitare combinando fra loro le funzioni elementari, ad esempio la funzione

$$x\mapsto \sqrt{\log\vert\cos x\vert}$$

ha come campo di esistenza l'insieme

$$A=\{k\pi:k\in \Z\},$$

quindi è continua nel suo insieme di definizione. Si noti che la funzione è la restrizione della funzione nulla all'insieme A.

Finora abbiamo verificato la continuità di alcune funzioni, ci sembra utile fare anche alcune verifiche di discontinuità. Poichè la discontinuità è definita come mancanza di continuità, la sua verifica sarà un utile esercizio di negazione di una proposizione, cioè come si può affermare che una proposizione è falsa.

Esempio 2   Come primo esempio intuitivo di funzione discontinua in a=0,abbiamo considerato la funzione segno, per dare una dimostrazione rigorosa di questo fatto dobbiamo trovare un numero $\varepsilon>0,$ tale che la disequazione

$$\vert sgn(x)-sgn(0)\vert=\vert sgn(x)\vert<\varepsilon$$

non abbia fra le sue soluzioni un intorno di 0. Poichè la funzione salta dal valore 0 ai valori $\pm1,$ possiamo scegliere $\varepsilon=1/2$ e verificare facilmente che la disequazione |sgn(x)|<1/2 ha come unica soluzione x=0, che non contiene nessun intorno di 0.

Nell'esempio precedente, abbiamo trovato un $\varepsilon$ tale che la corrispondente disequazione ha come soluzione l'unico punto x=0, ma per negare la continuità è sufficente negare l'esistenza di un intorno di soluzioni, qual è una formulazione diretta della definizione di discontinuità?

L'esempio seguente mostra una funzione che è discontinua in ogni punto del dominio.

Esempio 3   La funzione di Dirichlet   definita da

$$f: x\mapsto \begin{cases} \ \ 1 & \text{se $x$ \\lq e razionale}\\ \ \ 0 & \text{se $x$ \\lq e irrazionale}\\ \end{cases}$$

è discontinua in ogni $a\in \R.$La discontinuità dipende dal fatto che in ogni intervallo ci sono sia numeri razionali che numeri irrazionali. Dimostriamo che la precedente funzione è discontinua in un punto razionale, si consiglia di ripetere la dimostrazione nel caso di un punto irrazionale.

Per affermare che la funzione di Dirichlet è discontinua in $a\in \Q,$ si deve trovare un $\varepsilon>0$tale che per ogni $\delta>0$ esiste $x\in S(a,\delta)$ con la proprietà

$$\vert f(x)-1\vert\geq \varepsilon.$$

Nel nostro caso se scegliamo $\varepsilon=1/2$ tutti i punti irrazionali xsoddisfano

$$\vert f(x)-1\vert=1\geq 1/2=\varepsilon.$$

Basterà quindi scegliere un numero irrazionale $x\in S(a,\delta)$ per ottenere la discontinuità della funzione in a.

Concludiamo il capitolo descrivendo la più importante conseguenza della continuità in un punto. Questa proprietà va sotto il nome di permanenza del segno  ed afferma che se una funzione è diversa da zero in un punto di continuità conserva lo stesso segno per punti vicini.

Teorema 1.1 (Permanenza del segno)   Se $f : A \subseteq R \rightarrow R$ è continua in $a\in A$ e $f(a)\not=0,$ allora esiste un intorno $S(a,\delta)$ tale che

$$sgn(f(x))=sgn(f(a))\quad\text{per ogni}\quad x\in S(a,\delta)\cap A.$$

o equivalentemente

$$f(x)\,f(a)>0\quad\text{per ogni}\quad x\in S(a,\delta)\cap A.$$