Infinitesimi

Poniamoci il problema di cercare approssimazioni polinomiali sempre migliori di una funzione. Per far questo dobbiamo prima di tutto definire cosa intendiamo per "approssimazioni migliori". Questo concetto è espresso dalla definizione di funzione infinitesima e del suo ordine.

Le funzioni considerate in questo capitolo si suppongono tutte definite sullo stesso intervallo I.

Definizione 11.1  

• Diremo che f è infinitesima per $x\rightarrow a$ e scriveremo
  
  $$f(x)=o(1),\quad x\rightarrow a,$$
  
  
  se $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0.$
• Diremo che f è un infinitesimo di ordine superione a g per $x\rightarrow a$ e scriveremo
  
  $$f(x)=o(g(x)),\quad x\rightarrow a,$$
  
  
  se f e g sono due funzioni infinitesime e $\lim_{x\rightarrow a}f(x)/g(x)=0.$
• Diremo che f è un infinitesimo dello stesso ordine di g per $x\rightarrow a$ se la funzione f/g è limitata in un intorno di a, e scriveremo
  
  $$f(x)=O(g(x)),\quad x\rightarrow a.$$
  
  

• Diremo che f è un infinitesimo equivalente (oppure asintotico) a g per $x\rightarrow a$ se $\lim_{x\rightarrow a}f(x)/g(x)=1,$in questo caso scriveremo
  
  $$f \sim g,\quad x\rightarrow a.$$
  
  

Nota 3  

• Se f è un infinitesimo di ordine superione a g, diciamo anche che f va a zero più rapidamente di g.
• Può succedere che f sia un infinitesimo dello stesso ordine di g,ma che g non sia un infinitesimo dello stesso ordine di f, ad esempio
  
  $$x\sin x=O(x),\quad x\not=O(x\sin x).$$
  
  

• Se $f(x)/g(x)\rightarrow \ell\in\R,\quad x\rightarrow a,$allora $f(x)=O(g(x)),\quad x\rightarrow a.$Se $\ell \not= 0,$ allora anche $g(x)=O(f(x)),\quad x\rightarrow a.$
• Si noti che f,g sono infinitesimi equivalenti se e solo se la differenza f-g è un infinitesimo di ordine superiore sia ad f che a g.

Definizione 11.2  

• $(x-a)^\gamma ,\ \gamma >0,$ si dice infinitesimo principale per $x\rightarrow a.$
• Diremo che f è un infinitesimo di ordine superiore a $\gamma\in \R,\ \gamma >0,$ per $x\rightarrow a$ se
  
  $$f(x)=o((x-a)^\gamma),\quad x\rightarrow a.$$
  
  

• Diremo che f è un infinitesimo di ordine $\gamma$ per $x\rightarrow a$ se
  
  $$f(x)=O((x-a)^\gamma),\quad x\rightarrow a.$$
  
  

• Diremo che $\rho (x-a)^\gamma ,\ \rho \not= 0,$ è la parte principale di f per $x\rightarrow a$ se
  
  $$f \sim \rho (x-a)^\gamma,\quad x\rightarrow a.$$
  
  

Nota 4  

• Quanto detto in precedenza può essere esteso al caso
  
  $$x\rightarrow \alpha,\quad \alpha =a^\pm,+\infty ,-\infty .$$
  
  

• $x^{-\gamma} ,\ \gamma >0,$ si dice infinitesimo principale per $x\rightarrow \pm\infty.$

Quando sia chiaro dal contesto quale sia il punto a nell'intorno del quale stiamo lavorando, eviteremo di scrivere ogni volta $x\rightarrow a.$
Con gli infinitesimi si possono fare calcoli algebrici che sono una conseguenza diretta della loro definizione (vedi libro).