Formula di Taylor

Il paragrafo precedente ci permette di chiarire meglio cosa intendiamo per "approssimazione migliore", infatti diremo che un polinomio approssima meglio di un'altro una funzione se l'errore che commettiamo nel primo caso è un infinitesimo di ordine superiore a quello che commettiamo nel secondo caso. Per essere più precisi, lo scopo di questo paragrafo è di determinare opportune ipotesi per la funzione

$$f:I\rightarrow R$$

affinché si possa determinare, per ogni $a\in I,$ un polinomio di grado $n,\ P_{n,a},$ con la proprietà che l'errore (o resto)

R_n,a=f-P_n,a

che commettiamo nel sostituire il polinomio alla funzione sia un infinitesimo di ordine superiore a n, cioè

$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{R_{n,a}(x)}{(x-a)^n}=0.$$

Contestualmente ci porremo il problema fondamentale di dare una stima del resto.

Abbiamo già visto i casi n=0,1. Infatti se una funzione è continua, allora è approssimabile con una costante (polinomio di grado zero), se la funzione è derivabile allora è approssimabile, nel senso precedentemente detto, con un polinomio lineare.

Per fare un passo avanti nella determinazione dell'approssimazione polinomiale di una funzione, assumiamo che la funzione sia derivabile due volte in I e fissiamo il punto a nel quale vogliamo fare l'approssimazione. Per semplicità di scrittura tralasciamo l'indice a sia nel polinomio approssimante che nel resto, ottenendo

R₁(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)=f(x)-P₁(x).

Abbiamo così che il resto è derivabile due volte e vogliamo confrontarlo con la funzione (x-a)².

Proposizione 12.1   Se f è derivabile due volte in I, allora

1.

$\lim_{x\rightarrow a}\frac{R_1(x)}{(x-a)^2}=\frac{1}{2}f''(a),$

2.

per ogni $x\in I$ (per semplicità di scrittura supponiamo x>a) esiste $\xi_x\in (a,x)$ (dipendente da x) tale che

$$\frac{R_1(x)}{(x-a)^2}=\frac{1}{2}f''(\xi_x)$$

Dimostrazione 12.1   Dalla definizione del resto segue immediatamente che

$$R'_1(x)=f'(x)-f'(a),\quad R_1''(x)=f''(x)$$

1.

La dimostrazione si fa applicando il Teorema di Cauchy (vedi libro), che nel nostro caso si riduce ad applicare il teorema di Rolle alla funzione della variabile t

$$\phi:t\mapsto R_1(t)(x-a)^2-R_1(x)(t-a)^2.$$

Si noti che nella precedente funzione x va considerato costante e si verifichi che $\phi$ soddisfa alle ipotesi del teorema di Rolle in [a,x].
Otteniamo che esiste $t_0(x)\in (a,x)$ tale che

$$\frac{R_1(x)}{(x-a)^2}=\frac{R'_1(t_0(x))}{2(t_0(x)-a)}= \quad \frac{f'(t_0(x))-f'(a)}{2(t_0(x)-a)}\quad a<t_0(x)<x.$$

Passando al limite per $x\rightarrow a$ otteniamo l'asserto.

2.

Per il secondo punto si applica ancora il Teorema di Rolle alla funzione $\psi:s\mapsto 2R'_1(s)(t_0(x)-a)^2-R'_1(t_0(x))(s-a)^2.$

Nota 5  

• Per ottenere il precedente punto 1. basta l'esistenza di f' su I e quella di f''(a).
• Se $f\in C^1(I)$ il punto 1. si ottiene dal punto 2.

In generale se f è derivabile n volte, possimo scrivere, per ogni $a\in I,$ il polinomio di Taylor di f di grado n centrato in a

$$P_{n,a}(x)=\sum _{i=0}^n \frac{f^{(i)}(a)(x-a)^n}{n!}$$

Teorema 12.2   Sia f derivabile n volte in I, allora

• R_n,a=f-P_n,aè un infinitesimo di ordine superiore a n, cioè $\frac{R_{n,a}(x)}{(x-a)^n}\rightarrow 0,\quad x\rightarrow a.$Potremo quindi scrivere
  
  f(x)=P_n,a(x)+o((x-a)ⁿ)
  
  
  che viene chiamata anche formula o approssimazione di Taylor di ordine n, centrata in a, con resto in forma di Peano.
• per ogni $a,x\in I$ (per semplicità di scrittura supponiamo x>a) esiste $\xi_x\in (a,x)$ (dipendente da x) tale che
  
  $$R_{n-1,a}(x)=\frac{f^{(n)}(\xi_x)(x-a)^n}{n!}.$$
  
  
  Potremo quindi dire che esiste $\xi_x\in (a,x)$ tale che
  
  $$f(x)=P_{n-1,a}+\frac{f^{(n)}(\xi_x)(x-a)^n}{n!}$$
  
  
  che viene chiamata anche formula o approssimazione di Taylor di ordine n-1, centrata in a, con resto in forma di Lagrange.
• Se $f\in C^n(I),$ allora
  
  $$\vert R_{n-1,a}(x)\vert\leq \frac{\max \{\vert f^{(n)}(\xi)\vert,\ \xi\in [a,x]\}\vert x-a\vert^n}{n!}.$$
  
  

Nota 6   Se $f\in C^\infty (I)$ allora possiede approssimazioni di Taylor centrate in ogni punto di qualsiasi ordine.