Calcolo della soluzione

Per il calcolo della soluzione possiamo ovviamente fare solo un numero finito di passi, ma questo numero puó essere scelto in dipendenza dell'approssimazione voluta. Infatti supponiamo di voler calcolare la soluzione con un'approssimazione $\varepsilon>0,$ poiché la lunghezza dell'intervallo I_n é (b-a)/2ⁿ,basterá fissare n in maniera tale che $(b-a)/2^n<\varepsilon,$cioé

$$n>\log_2\frac{b-a}{\varepsilon}=\frac{\log(b-a)-\log\varepsilon}{\log\,2}$$

e scegliere come soluzione b_n (approssimazione per eccesso) oppure a_n (approssimazione per difetto). Se scegliamo come soluzione m_n=(a_n+b_n)/2, non sappiamo se sia per eccesso o per difetto, ma la sua distanza da ogni punto dell'intervallo é sicuramente minore di $\varepsilon/2$ e quindi m_né un'approssimazione migliore delle precedenti.

Va notato che l'algoritmo di bisezione, pur facilmente implementabile su un calcolatore, non é molto efficace perché richiede un numero molto alto di passi per ottenere buone approssimazioni. Se la funzione soddisfa a ulteriori proprietá di regolaritá, si possono implementare metodi piú veloci per la ricerca delle soluzioni delle equazioni.

Il teorema dei valori intermedi afferma, sotto opportune ipotesi, l'esistenza di una soluzione, ma niente dice a proposito dell'unicitá che spesso é utile avere. L'unicitá va giustificata con altri mezzi, ad esempio dimostrando che la funzione é crescente o decrescente nell'intervallo considerato.

Esempio 8   Vogliamo risolvere l'equazione

f(x)=x+e^x=0.

Per prima cosa notiamo che sia $x\mapsto x$ che $x\mapsto e^x$ sono funzioni continue e crescenti, ne segue che f é continua e crescente, quindi, se la soluzione esiste é unica. Abbiamo inoltre

$$\begin{eqnarray*}&f(0)=1&\\ & f(-1)=-1+1/e<0,& \end{eqnarray*}$$

e possiamo quindi dedurre che l'equazione ha una sola soluzione che appartiene all'intervallo (-1,0).

Se si usa l'algoritmo di bisezione per calcolare una soluzione approssimata, per avere l'errore $\varepsilon<1/100$ si devono fare un numero di passi

$$n>log_2 50\ \mbox{ad esempio}\ n=6.$$

Come si vede i passi sono molti per ottenere solo l'approssimazione di 1/100.

Naturalmente il teorema dei valori intermedi non é piú vero se la funzione é discontinua anche in un solo punto.