Dodicesima settimana

97. Lun. 8 Gen.
Spazi di probabilita' continui: cenni. Dimostrazione di

$$\int_{-\infty }^{+\infty}\exp(-x^2/2)=\sqrt{2\pi}$$

Esempio: Si da una spinta alla lancetta di un orologio e si chiede di calcolare la probabilita' che la lancetta si fermi in un determinato settore, supponendo che le parti dell'orologio siano equiprobabili. si dimostra che la probabilita' che la lancetta si fermi in un punto esatto dell'orologio deve essere $0.$ Un modello ragionevole risulta l'intervallo $[0,2\pi)$ con una "probabilita' uniforme".
98. Lun. 8 Gen.
Esempio. (ago di Buffon). Un ago di lunghezza unitaria viene gettato a caso su un piano su cui si sono disegnate rette parallele a distanza unitaria. Si suppone che le parti del piano siano equiprobabili e si chiede che probabilita' ci sia che l'ago attraversi una delle rette. Un modello per i possibili risultati consiste nel fissare l'asse delle ascisse ortogonale alle rette, fissare la striscia individuata dalle rette $x=0,\ x=1$ dare l'ascissa $x$ del centro dell'ago e l'angolo $y$ che l'ago forma con l'asse delle $x.$ Lo spazio dei campioni risulta cosi' il rettangolo $[0,1]\times[-\pi/2,\pi/2),$ con una "probabilita' uniforme". L'evento $A=$ {l'ago incontra una retta} e' rappresentato da $\{(x,y):\cos(y)/2>x>1-\cos(y)\}.$ Esercizio proposto: calcolare $p(A).$
99. Lun. 8 Gen.
Variabili aleatorie continue: definizione tramite la funzione di ripartizione, v.a. con densita' integrabile secondo Riemann, analogie e differenze con le v.a. discrete, relazione fra funzione di ripartizione e densita'. Esempi:

1. Densita' uniforme su un intervallo
2. Densita' normale standard
3. Desita' esponenziale
4. Densita' di Cauchy (per esercizio): determinare per quale valore di $p,$ la funzione $p/(1+x^2)$ rappresenta una densita' continua

Esercizio proposto: disegnare le funzioni di ripartizione delle v.a. definite dalle precedenti densita' e, quando possibile determinarle.
Densita' congiunte e densita' marginali, definizione di v.a. indipendenti.
100. Mar. 9 Gen.
Data la densita' congiunta, ricavare le densita' marginali. Esempio: densita' uniforme sul cerchio unitario. Densita' della traslazione e della riparametrizzazone.
101. Mar. 9 Gen.
Definizione di media di una v.a., esempi: densita' uniforme e normale standard. Proprita' della media: linearita', monotonia, continuita', media del prodotto di v.a. indipendenti.
102. Gio. 11 Gen.
Varianza di una v.a., esempi: densita' uniforme e normale standard. Proprieta' della varianza, scarto quadratico medio, covarianza, coefficiente di correlazione.
Esercizi proposti: calcolare media varianza e scarto quadratico medio delle densita' esponenziali e di Cauchy.
103. Gio. 11 Gen.
Densita' normali. Disuguaglianza di Chebichev.
104. Ven. 12 Gen.
Lezione tenuta dal Dott. Mugelli: esercizi su densita' congiunte e marginali, densita' della somma e del prodotto.
105. Ven. 12 Gen.
Lezione tenuta dal Dott. Mugelli: esercizi su varianza, covarianza e coefficiente di correlazione.
106. Ven. 12 Gen.
Lezione tenuta dal Dott. Mugelli: esercizi su leggi $\Gamma$.