Tredicesima settimana

107. Lun. 15 Gen.
Convergenza di variabili aleatorie: definizioni di convergenza quasi certamente, in prebabilita' e in legge. Legge dei grandi numeri per v.a. indipendenti con la stessa densita' in presenza di valore atteso e varianza
108. Lun. 15 Gen.
Dimostrazione della convergenza in probabilita'. Significato della legge e sue limitazioni.
109. Lun. 15 Gen.
Esempio: $p(B(2n,1/2)=n)\rightarrow 0$.
110. Mar. 16 Gen.
Convergenza in legge: teorema del limite centrale (senza dimostrazione) e suo significato. Esercizio proposto: dimostrare, nelle ipotesi del teorema del limite centrale, che

$$\frac{X_1+..+X_n -n\mu}{\sqrt n}\rightarrow N(0,\sigma^2)$$

111. Mar. 16 Gen.
Relazione fra il teorema del limite centrale e la legge dei grandi numeri. Approssimazione normale: significato e calcolo delle probabilita'

$$p(\vert X_1+..+X_n -n\mu \vert<\epsilon),\ p(\vert X_1+..+X_n -n\mu \vert>\epsilon)$$

$$p(\vert X_1+..+X_n -n\mu \vert<c\sqrt n),\ p(\vert X_1+..+X_n -n\mu \vert>c\sqrt n)$$

in termini della funzione $\Phi :=$ funzione di ripartizione di $N(0,1)$
112. Gio. 18 Gen.
Data una v.a. continua di densita' uniforme in $[0,1],$ simulare un'assegnata v.a. $Y$ di densita' $f_X.$ Esempio: simulare $Y$ di legge esponenziale.
113. Gio. 18 Gen.
Esercizio: date $X_1,..,X_n \sim X\sim N(0,\sigma^2),$ indipendenti, determinare la densita' di $X^2$ e quella di $\chi^2(n)\sim X_1^2+..+X_n^2,$ sapendo che se le v.a. sono indipendenti

$$\Gamma (\alpha_1,\lambda)+..+\Gamma (\alpha_n,\lambda)= \Gamma (\alpha_1+..+\alpha_n,\lambda).$$

114. Ven. 19 Gen.
Statistica descrittiva: retta di regressione, criterio dei minimi quadrati.
115. Ven. 19 Gen.
Significato del coefficiente di correlazione, residui, errore standard della stima.
116. Ven. 19 Gen.
Esercizio proposto: Siano $X,Y\sim N(\mu ,\sigma^2)$ v.a. indipendenti, calcolare la densita' di $X+Y.$ Ripetere l'esercizio quando $X\sim N(0,\sigma^2_1)\ ,\ Y\sim N(0,\sigma^2_2)$ e dedurne la formula per $X\sim N(\mu_1,\sigma^2_1)\ ,\ Y\sim N(\mu_2,\sigma^2_2).$