Sesta settimana

Lun. 13 Nov.
Prova intercorso
Lun. 13 Nov.
Prova intercorso
Lun. 13 Nov.
Prova intercorso
53. Mar. 14 Nov.
Correzione compito
54. Mar. 14 Nov.
Correzione compito
55. Gio. 16 Nov.
Integrale doppio (di Riemann) sui rettangoli: definizione e estensione agli integrali multipli sugli iper-rettangoli. Insiemi misurabili (secondo Peano-Jordan) nel piano: definizione ed estensione a sottoinsiemi di $\R^n.$ Insiemi piani di misura nulla: definizione.
56. Gio. 16 Nov.
Funzione caratteristica (o indicatrice) di un insieme: $\chi_A =$ funzione caratteristica di $A.$ Relazione fra la misura di Peano Jordan e l'integrale di Riemann. Proprieta' della misura (senza dimostrazione):
1) un insieme limitato e' misurabile se e solo se la sua frontiera ha misura nulla
2) i grafici delle funzioni integrabili su intervalli sono insiemi di misura nulla
3) $\mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)$
Definizione dell'integrale di Riemann per funzioni limitate su insiemi misurabili.
57. Ven. 17 Nov.
Proprieta' dell'integrale (senza dimostrazione): continuita', monotonia, linearita', additivita'. Domini normali, metodo di riduzione dell'integrale doppio su un dominio normale come integrale iterato (senza dimostrazione). Esempi:
1) integrale di una funzione $f(x,y)=g(x)h(y)$ su un rettangolo.
2) $${\int_A \frac {\sin(x)}{x}dx\,dy}$$ dove $A$ e' il rettangolo di vertici $(0,0),(\pi ,0),(0,1).$
58. Ven. 17 Nov.
Cambiamento di coordinate e integrale doppio. Esempi: calcolo in coordinate polari dei seguenti integrali

$$\int_A (x+y)dx\,dy\ ,\ \int_B (x+y)dx\,dy\ ,\ \int_C\frac {x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}dx\,dy$$

dove $A$ e' la corona circolare di centro l'origine e raggi $1$ e $2,$ $B$ e' il settore di $A$ contenuto nel primo quadrante e individuato dalle rette passanti per l'origine e di coefficiente angolare $\sqrt 3/3$ e $1,$ $C$ e' il cerchio di centro l'origine e raggio $1.$
59. Ven. 17 Nov.
Interpretazione geometrica della formula di cambiamento di base nel calcolo degli integrali doppi