Sessione autunnale, primo appello

Analisi Matematica I (Prof. Stefani) Prova scritta del 11/09/1998 A Durata: ore 2

Cognome, nome, matricola

 
 
Rispondere ai seguenti quesiti, giustificando in fogli separati le risposte. Risposte senza giustificazione non verranno ritenute valide. Ove richiesto la risposta deve essere riportata sul presente foglio.
 
ES.1 (p.nti 6) a) Determinare per quali valori di $x\in {\bf R}$ la seguente serie converge

$$\sum_{n\geq 1}\frac{n^2+1}{2n+1}x^n$$

Risposta
...
ES.2 (p.nti 12)

$$\mbox{Definiamo} \hspace*{5cm} f(x)=\frac{ e^{(x^2)}-1}{ e^{(x^2)}+1} .\hspace*{5cm}$$

a) Determinare il dominio di f
Risposta
...
b) Determinare le equazioni degli eventuali asintoti
Risposta
...
c) Determinare gli eventuali punti di max e min relativo e assoluto
Risposta
......
d) Disegnare sul retro il grafico della funzione
...
e) Giustificare l'affermazione : $f_{\vert(0,+\infty)}$e' invertibile con inversa derivabile. Calcolare il dominio e la derivata nel punto f(1) dell'inversa
Risposta
......
ES.3 (p.nti 6) Determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 4 in 0della funzione

f(x)=e^-(x+x2/2)

Risposta
...
ES.4 (p.nti 8) Definiamo

$$f(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0& \mbox{se}\quad x\geq 0\\ \frac{ x^2}{ x^2+1} &\mbox{se}\quad x<0 \end{array}\right.$$

a) Verificare che f e' continua su ${\bf R}$
...
b) Cosa significa che F e' una primitiva di f?
Risposta
...
c) Determinare una primitiva di f.
Risposta
...
 
ORALE : 15/09/98 ... $\bigcirc\ ,\$II appello ... $\bigcirc\ ,\$

Analisi Matematica I (Prof. Stefani) Prova scritta del 11/09/1998 B Durata: ore 2

Cognome, nome, matricola

 
 
Rispondere ai seguenti quesiti, giustificando in fogli separati le risposte. Risposte senza giustificazione non verranno ritenute valide. Ove richiesto la risposta deve essere riportata sul presente foglio.
 
ES.1 (p.nti 6) a) Determinare per quali valori di $x\in {\bf R}$ la seguente serie converge

$$\sum_{n\geq 1}\frac{2n+1}{n^2+1}x^n$$

Risposta
...
ES.2 (p.nti 12)

$$\mbox{Definiamo} \hspace*{5cm} f(x)=\frac{ log(x^2+1)-1}{ log(x^2+1)+1} .\hspace*{5cm}$$

a) Determinare il dominio di f
Risposta
...
b) Determinare le equazioni degli eventuali asintoti
Risposta
...
c) Determinare gli eventuali punti di max e min relativo e assoluto
Risposta
......
d) Disegnare sul retro il grafico della funzione
...
e) Giustificare l'affermazione : $f_{\vert(-\infty,0)}$e' invertibile con inversa derivabile. Calcolare il dominio e la derivata nel punto f(-1) dell'inversa.
Risposta
......
ES.3 (p.nti 6) Determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 4 in 0della funzione

f(x)=cos(x+x³/24)

Risposta
...
ES.4 (p.nti 8) Definiamo

$$f(x)= \begin{cases} 0 & \mbox{se}\quad x> 0\\ \frac{ x}{ x-1} \mbox{se}\quad x\leq 0\\ \end{cases}$$

a) Verificare che f e' continua su ${\bf R}$
...
b) Giustificare l'affermazione: esiste una primitiva di f definita su ${\bf R}$
Risposta
...
c) Determinare le primitive di f.
Risposta
...
 
ORALE : 15/09/98 ... $\bigcirc\ ,\$II appello ... $\bigcirc\ \$

Analisi Matematica I (Prof. Stefani) Prova scritta del 11/09/1998 C Durata: ore 2

Cognome, nome, matricola

 
 
Rispondere ai seguenti quesiti, giustificando in fogli separati le risposte. Risposte senza giustificazione non verranno ritenute valide. Ove richiesto la risposta deve essere riportata sul presente foglio.
 
ES.1 (p.nti 6) a) Determinare per quali valori di $x\in {\bf R}$ la seguente serie converge

$$\sum_{n\geq 1}\frac{2^n}{n^2}x^n$$

Risposta
...
ES.2 (p.nti 12)

$$\mbox{Definiamo} \hspace*{5cm} f(x)=\frac{ arcsen\,x-\pi/2}{ arcsen\,x+\pi/2} .\hspace*{5cm}$$

a) Determinare il dominio di f
Risposta
...
b) Determinare le equazioni degli eventuali asintoti
Risposta
...
c) Determinare gli eventuali punti di max e min relativo e assoluto
Risposta
......
d) Disegnare sul retro il grafico della funzione
...
e) Giustificare l'affermazione : fe' invertibile con inversa derivabile. Calcolare il dominio dell'inversa e D(f^-1)(-1).
Risposta
......
ES.3 (p.nti 6) Determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 4 in 0della funzione

f(x)=log(1+x+x²/2)

Risposta
...
ES.4 (p.nti 8) Definiamo

$$f(x)= \begin{cases} -1 & \mbox{se}\quad x\in [0,1)\\ \frac{ 1}{ x^2-1} \mbox{se}\quad x\in (-1,0)\\ \end{cases}$$

a) Verificare che f e' continua su (-1,1)
...
b) Esistono primitive di f definite su (-1,1)? In caso affermativo calcolarle.
Risposta
...
...
 
ORALE : 15/09/98 ... $\bigcirc\ ,\$II appello ... $\bigcirc\ \$

Analisi Matematica I (Prof. Stefani) Prova scritta del 11/09/1998 D Durata: ore 2

Cognome, nome, matricola

 
 
Rispondere ai seguenti quesiti, giustificando in fogli separati le risposte. Risposte senza giustificazione non verranno ritenute valide. Ove richiesto la risposta deve essere riportata sul presente foglio.
 
ES.1 (p.nti 6) a) Determinare per quali valori di $x\in {\bf R}$ la seguente serie converge

$$\sum_{n\geq 1}\frac{3^n}{n^3}x^n$$

Risposta
...
ES.2 (p.nti 12)

$$\mbox{Definiamo} \hspace*{5cm} f(x)=\frac{ arctg\,x+\pi/2}{ arctg\,x-\pi/2} .\hspace*{5cm}$$

a) Determinare il dominio di f
Risposta
...
b) Determinare le equazioni degli eventuali asintoti
Risposta
...
c) Determinare gli eventuali punti di max e min relativo e assoluto
Risposta
......
d) Disegnare sul retro il grafico della funzione
...
e) Giustificare l'affermazione : fe' invertibile con inversa derivabile. Calcolare il dominio dell'inversa e D(f^-1)(-1).
Risposta
......
ES.3 (p.nti 6) Determinare lo sviluppo di Taylor di ordine 4 in 0della funzione

f(x)=sen(x+x³/6)

Risposta
...
ES.4 (p.nti 8) Definiamo

$$f(x)= \begin{cases} 0 & \mbox{se}\quad x\in [0,+\infty)\\ \frac{ x}{ x^2+1} \mbox{se}\quad x\in (-\infty,0)\\ \end{cases}$$

a) Verificare che f e' continua su ${\bf R}$
...
b) Giustificare l'affermazione: esistono primitive di f definite su ${\bf R}$ che sono di classe $C^1({\bf R})$ e non di classe $C^2({\bf R}).$
Risposta
...
c) Determinare una primitiva di f.
Risposta
...
 
 
ORALE : 15/09/98 ... $\bigcirc\ ,\$II appello ... $\bigcirc\ \$