Sessione invernale, terzo appello

Analisi Matematica I (Prof. Stefani) Prova scritta del 24/02/1998 A Durata: ore 2

Cognome, nome, matricola

 
 
Rispondere ai seguenti quesiti, giustificando in fogli separati le risposte. Ove richiesto, se la risposta non e' riportata sul presente foglio, sara' giudicata incompleta. Risposte senza giustificazione non verranno ritenute valide.
 
ES.1 (p.nti 10)

$$\mbox {Sia} \hspace*{5cm} f(x)=lg\frac{\vert 2-x\vert+1}{x} \hspace*{5cm}$$

a) Giustificare l'affermazione: f ha massimo e minimo in [1,3]
Risposta
...
b) Determinare il massimo e il minimo di cui al punto a) ed i valori della xin cui vengono raggiunti.
Risposta
...
ES.2 (p.nti 10)
Determinare al variare di $a\in {\bf R}$ numero e segno delle radici reali del seguente polinomio.

$$-\frac{x^4}{4} +\frac{x^3}{3}+x^2+a.$$

Risposta
...
...
...
b)Sul retro del presente foglio illustrare con un grafico la precedente risposta
...
ES.3 (p.nti 14) Sapendo che $f\in C^{\infty}({\bf R})$ e che

$$f(x)=2(x-1)^2+\frac{7}{12}(x-1)^4+o((x-1)^6)$$

a) Determinare f⁽⁴⁾(1)
Risposta
...
b) Determinare f⁽⁵⁾(1)
Risposta
...
c) Quante derivate in x=1 posso determinare?
Risposta
...
d) Esprimere in forma di Lagrange

$$f(2)-2-\frac{7}{12}$$

Risposta
......

Analisi Matematica I (Prof. Stefani) Prova scritta del 24/02/1998 B Durata: ore 2

Cognome, nome, matricola

 
 
Rispondere ai seguenti quesiti, giustificando in fogli separati le risposte. Ove richiesto, se la risposta non e' riportata sul presente foglio, sara' giudicata incompleta. Risposte senza giustificazione non verranno ritenute valide.
 
ES.1 (p.nti 10)
Determinare al variare di $a\in {\bf R}$ numero e segno delle radici reali del seguente polinomio.

$$x^4 +2a\frac{x^3}{3}+\frac{1}{16}.$$

Risposta
...
...
...
b)Sul retro del presente foglio illustrare con un grafico la precedente risposta
...
ES.2 (p.nti 14)
a) Definire il significato di

$$\int_0^{+\infty}\frac{arctgx}{1+x^2}d\,x=\frac{\pi^2}{8 }$$

Risposta
...
b) Verificare usando la definizione la precedente uguaglianza
......
c) Applicare il teorema della media integrale a

$$\int_0^1x^2cos\frac{1}{x+1}d\,x$$

ed usarlo per verificare che

$$0<\int_0^1x^2cos\frac{1}{x+1}d\,x<1$$

...
ES.3 (p.nti 10)

$$\mbox {Sia} \hspace*{5cm} f(x)=e^{\frac{\vert x-1\vert+1}{x}} \hspace*{5cm}$$

a) Giustificare l'affermazione: f ha massimo e minimo in $[\frac{1}{2},2]$
Risposta
...
b) Determinare il massimo e il minimo di cui al punto a) ed i valori della xin cui vengono raggiunti.
Risposta
...

Analisi Matematica I (Prof. Stefani) Prova scritta del 24/02/1998 C Durata: ore 2

Cognome, nome, matricola

 
 
Rispondere ai seguenti quesiti, giustificando in fogli separati le risposte. Ove richiesto, se la risposta non e' riportata sul presente foglio, sara' giudicata incompleta. Risposte senza giustificazione non verranno ritenute valide.
 
ES.1 (p.nti 10)

$$\mbox {Sia} \hspace*{5cm} f(x)=\frac{\vert 2+x\vert+1}{x} \hspace*{5cm}$$

a) Giustificare l'affermazione: f ha massimo e minimo in [-3,-1]
Risposta
...
b) Determinare il massimo e il minimo di cui al punto a) ed i valori della xin cui vengono raggiunti.
Risposta
...
ES.2 (p.nti 10)
Determinare al variare di $a\in {\bf R}$ numero e segno delle radici reali del seguente polinomio.

$$\frac{x^4}{4} +\frac{x^3}{3}-x^2-a.$$

Risposta
...
...
...
b)Sul retro del presente foglio illustrare con un grafico la precedente risposta
...
ES.3 (p.nti 14) Sapendo che $f\in C^{\infty}({\bf R})$ e che

$$f(x)=x+\frac{x^3}{3}+o(x^4)$$

a) Determinare f⁽³⁾(0)
Risposta
...
b) Quante derivate di (f(x))² in x=0 posso determinare?
Risposta
...
c) Esprimere in forma di Lagrange

f(1)-1-1/3

Risposta
......

Analisi Matematica I (Prof. Stefani) Prova scritta del 24/02/1998 D Durata: ore 2

Cognome, nome, matricola

 
 
Rispondere ai seguenti quesiti, giustificando in fogli separati le risposte. Ove richiesto, se la risposta non e' riportata sul presente foglio, sara' giudicata incompleta. Risposte senza giustificazione non verranno ritenute valide.
 
ES.1 (p.nti 10)
Determinare al variare di $a\in {\bf R}$ numero e segno delle radici reali del seguente polinomio.

$$x^4 +2a\,x^2+1.$$

Risposta
...
...
...
b)Sul retro del presente foglio illustrare con un grafico la precedente risposta
...
ES.2 (p.nti 10)

$$\mbox {Sia} \hspace*{5cm} f(x)=\vert\sqrt[3]{x-3}\vert+1 \hspace*{5cm}$$

a) Giustificare l'affermazione: f ha massimo e minimo in [-1,11]
Risposta
...
b) Determinare il massimo e il minimo di cui al punto a) ed i valori della xin cui vengono raggiunti.
Risposta
...
ES.3 (p.nti 14)
a) Definire il significato di

$$\int_0^1\frac{lg(1-x)}{1-x}d\,x=-\infty$$

Risposta
...
b) Verificare usando la definizione la precedente uguaglianza
......
c) Applicare il teorema della media integrale a

$$\int_0^{1/2}\frac{cos(1-x)}{1-x}d\,x$$

ed usarlo per verificare che

$$0<\int_0^{1/2}\frac{cos(1-x)}{1-x}d\,x<1$$

...