Variabili aleatorie indipendenti

Definizione 2.3.1. Si dice che $n$ var.al. $X_1,..,X_n$ sono indipendenti se e solo se per ogni scelta di sottoinsiemi $J_1,..,J_n$ di ${\bf R}$ si ha

$$p\{X_1 \in J_1,..,X_n \in J_n\} = p\{X_1 \in J_1\}..p\{X_n \in J_n\}$$

La definizione si estende a infinite var.al. nel solito modo.

Se $f_i$ sono le densità (marginali) delle var.al indipendenti $X_i$ e $f$ la loro densità congiunta, allora si ha che $f(x_1,..,x_n) = f_1(x_1)..f_n(x_n)$. Viceversa se vale quest'ultima identità si riconosce che le var.al. $X_i$ sono indipendenti.
Siano $X$ e $Y$ var.al. indipendenti e siano $\phi, \psi :{\bf R} \rightarrow {\bf R}$ due funzioni. E' intuitivo che anche le var.al. $\phi(X), \psi(Y)$ sono indipendenti. Più in generale si ha il
Teorema 2.3.1. Siano $X_1,..,X_m;Y_1,..,Y_n$ var.al. indipendenti e siano $\phi:{\bf R^m} \rightarrow {\bf R},\;\psi:{\bf R^n} \rightarrow {\bf R}$ delle funzioni. Allora le var.al. $\phi(X_1,..,X_m), \;\psi(Y_1,..,Y_n)$ sono indipendenti.