Caso vettoriale

Spesso è necessario considerare simultaneamente più variabili aleatorie.
Definizione 2.2.1. Si chiama vettore aleatorio o var.al. $m$-dimensionale un vettore $X = (X_1, X_2,..,X_m)$, le cui componenti $X_i$ siano var.al. nel senso della defin. 2.1.1.

La densità $f$ di $X$ si definisce allo stesso modo, cioè

$$f(x_1, x_2,..,x_m) = p\,\{X_1 = x_1, X_2 = x_2, ..,X_m = x_m \,\}\;,$$

$f$ viene anche detta densità congiunta delle $X_i$ le cui densità, dette marginali, possono essere indicate con $f_{X_i}$. Se si conosce la densità congiunta si possono calcolare le densità marginali; per semplicità trattiamo il caso $m = 2$. Sia $(X, Y)$ una var.al. 2-dimensionale con densità $f = f(x,y)$. Indichiamo con $\{x_i\},\, \{y_i\},\, f_X,\,f_Y$ i valori possibili e le densità di $X$ e $Y$ rispett. Si ha

$$f_X(z) = p\{X = z\} = p(\bigcup_i\{X=z, Y = y_i\}) = \sum_i p\{X=z, Y = y_i\} = \sum_i f(z,y_i).$$

Analogamente si ha

$$f_Y(z) = \sum_i f(x_i, z).$$

Non basta invece conoscere le densità marginali per calcolare la densità congiunta, perchè densità congiunte diverse possono avere densità marginali uguali.
Del resto è chiaro che anche avendo tutti i dati relativi a una var.al. $X$ e a un'altra var.al. $Y$ (per esempio la conoscenza delle rispettive densità $f_X$ e $f_Y$ ) nulla si può sapere sulle probabilità che si realizzino simultaneamente un evento concernente la var.al. $X$ e un altro concernente la $Y$ ; questo a meno che non si sappia a priori che $X$ e $Y$ sono var.al. indipendenti (vedi dopo).