Densità di una somma

Consideriamo il problema di calcolare la densità della somma di due var.al. $X$ e $Y$. Si noti che l'evento $\{\, X + Y = z \,\}$ uguaglia l'unione (di eventi disgiunti) $\cup_i \{\, X = x_i \,,\; Y = z - x_i \,\}$; risulta quindi chiaro che in generale per calcolare la densità di una somma non servono le densità marginali, ma occorre conoscere la densità congiunta del vettore $(X, Y)$.
Teorema 2.4.1. Siano $U$ e $V$ var.al. di densità congiunta $f$. Allora la densità $g$ di $U+V$ vale

$$g(z) = \sum_{t \in {\bf R}} f(t,z-t);$$

se poi $U$ e $V$ sono indipendenti con densità $f_1, f_2$, si ha

$$g(z) = \sum_{t \in {\bf R}} f_1(t)f_2(z-t).$$

Dimostrazione. Premettiamo in generale che per ogni var.al. $m$-dimensionale $X$ di densità $f$ e per ogni $A \subset {\bf R^m}$ si ha:

$$p\{X \in A\} = \sum_{x \in A} f(x);$$

e se $\phi : {\bf R^m}\rightarrow {\bf R}$

$$\hspace{1cm} p\{\phi (X) = z \} = p\{X \in \phi^{-1}(z) \} = \sum_{x \in \phi^{-1}(z)} f(x).$$

Si usi ora l'ultima formula con $X = (U,V)$ e $\phi(u,v) = u+v$, basta osservare che $\phi^{-1}(z)$ è l'insieme dei vettori $(u,v)$ con $u+v = z$.
Teorema 2.4.2. Siano $V_1,..,V_s$ var.al. indipendenti con leggi binomiali risp. $B(n_1,p),..,B(n_s,p)$. Allora $(V_1+..+V_s)$ ha legge $B(n_1+..+n_s,p)$.
Dimostrazione. Basta rappresentare $(V_1+..+V_s)$ come somma di $(n_1+..+n_s)$ var.al. indipendenti di legge $B(1,p)$.
Esempio 1. Si lanciano 2 dadi a $n$ facce, si chiede la probabilità $g(k)$ che la somma dei risultati sia esattamente $k \;\;(k=2,3,..,2n)$. Si ha

$$g(k) = \sum_{i=1}^{n} f(i,k-i);$$

dove $f(i,k-i) = \frac{1}{n^2}$ se $1 \leq (k-i) \leq n$, $f(i,k-i) = 0$ altrimenti. Pertanto nella sommatoria ci sono $(k-1)$ termini non nulli se $k \leq n+1$ e $n-(k-n)+1 = 2n-k+1$ termini non nulli se $k > n+1$; si vede quindi che $g(k)=g(2n-k+2)$ e che per $k=1,2,..,n+1 \;\;\; g(k) = \frac{k-1}{n^2}.$