Variabili aleatorie discrete

Definizione 2.1.1. Una funzione $X : \Omega \rightarrow {\bf R}$, dove $(\Omega, {\cal A}, p)$ è uno spazio di probabilità, si dice che è una variabile aleatoria (var.al.) se per ogni $t \in {\bf R}$,

$$\{ \omega: X(\omega) \leq t \} \in {\cal A} .$$

Questa denominazione è un po' fuorviante: occorrerebbe dire funzione aleatoria e non var.al.; tuttavia è ormai divenuta standard.
Tipici esempi di var.al.: il numero di successi in $n$ prove di Bernoulli (vedi dopo), il guadagno (o perdita) di uno scommettitore in un gioco d'azzardo.
Considereremo qui solo var.al. discrete: supporremo cioè che la var.al. $X$ prenda al più un insieme numerabile di valori distinti $\{x_i\}_{i \in I}\;\;$dove l'insieme $I$ degli indici è finito o numerabile.
Definizione 2.1.2. Data la var.al. $X$, la sua densità (discreta) è la funzione $f : {\bf R} \rightarrow {\bf R^+}$

$$f(x) = p\{\omega: X(\omega) = x \}$$

Si osservi che
i) $f(x) = 0$ se $x \neq x_i$,
ii) $$\sum_{x\in R}f(x) = \sum_{i\in I}f(x_i) = 1$$.
Ogni funzione $g : {\bf R} \rightarrow {\bf R^+}$ che soddisfi i) e ii) viene chiamata densità.
Scriveremo poi di solito $f(x) = p\,\{ X = x \,\}$ anzichè più correttamente $f(x) = p\,\{ \omega : X(\omega) = x\,\}\,.$
Consideriamo ora un esempio importante: il così detto
Schema di Bernoulli : Una prova (ad es. lancio di moneta) ha due soli possibili risultati: successo (T) con probabilità $p$ e insuccesso (C) con probabilità $1-p$. Consideriamo il caso che si ripetano $n$ prove di questo tipo. Le $2^n$ sequenze distinte che si possono formare con i simboli T e C sono uno spazio di campioni $\Omega$. Sia $1 \leq i \leq n$; siano $S_i, N_i$ gli eventi ``T all'i-ma prova", ``C all'i-ma prova" rispett. Qualunque sia $i$ si ha $p(S_i) = p,\, p(N_i) = 1-p$; inoltre se gli indici sono tutti distinti, ogni gruppo di eventi del tipo $S_j, N_s$ costituisce una famiglia di eventi indipendenti.
Teorema 2.1.1. Se $A_k \in \Omega$ è l'evento ``$k$ successi negli $n$ lanci", allora

$$p(A_k) = {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k}$$

Dimostrazione. Una sequenza con $k$ successi (e quindi $n-k$ insuccessi) si ottiene come intersezione di $n$ eventi: $k$ di tipo $S_i$ e $n-k$ di tipo $N_i$, a causa dell'indipendenza questa sequenza ha probabilità $p^k (1-p)^{n-k}$. Si conclude notando che di tali sequenze ce ne sono ${n\choose k}$.

Indichiamo con $S_n$ il numero di successi in $n$ prove di Bernoulli. $S_n$ è una var.al. definita su $\Omega$ : se $\omega \in \Omega,\; S_n(\omega)$ è il numero di volte che compare $T$ nella sequenza $\omega$; i valori possibili di $S_n$ sono 0,1,..,$n$. Per la densità $f$ di $S_n$ si ha $f(k) = p\,\{ S_n = k\,\} = {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k}$ per $k=0,1,..,n$ e 0 altrimenti; cioè $f$ è concentrata nell'insieme $\{ 0, 1, ..,n \,\}$ che a volte per brevità si prende come dominio di $f$ omettendo di definire la densità dove è 0.
Vedremo che è possibile fare calcoli significativi con le probabilità anche senza considerare esplicitamente lo spazio dei campioni.
Si noti infine che

$$S_n = X_1+..+X_n \,,$$

dove $X_i$ è la var.al che vale 1 se all'i-ma prova si ha successo e 0 se si ha insuccesso (la sua densità vale risp. $p \,, (1-p)$ e 0 in ogni altro caso).
Diremo che $S_n$ segue una legge binomiale di parametri $n$ e $p$ che si indica con $B(n,p)$. Chiaramente ogni $X_i$ ha legge $B(1,p)$.
Definizione 2.1.4. Data una var.al. $X$ si chiama funzione di ripartizione (f.r.) la funzione $F_X : {\bf R} \rightarrow [0,1]$ definita da

$$F_X(t) = p\{X \leq t\}.$$

Una f.r. è sempre non decrescente. Se $f$ è la densità di $X$, si ha

$$F_X(t) = \sum_{x \leq t} f(x);$$

se $X$ prende valori interi si ha pure

$$F_X(k) - F_X(k-1) = f(k).$$