Convergenza in legge e Teorema Limite Centrale

Definizione. Siano $X_n,\;X$ var.al e siano $F_n,\;F$ le loro f.r. Diremo che $X_n$ converge in legge a $X$ se per ogni punto $x$ di continuità di $F$ vale

$$\lim_{n\rightarrow\infty} F_n(x) = F(x) .$$

Esempio. Sia $\{X_i\}$ una successione di var.al. indipendenti aventi la stessa densità $f(x) = \frac{2}{\pi(1+x^2)}$ concentrata in $(0, +\infty)$ e sia $G_n = \frac{ \max (X_1,..,X_n)}{n}$; mostriamo che le $G_n$ convergono in legge:
Sia $F$ la f.r. delle $X_i$ e siano $F_n$ le f.r. delle $G_n$, si ha

$$F_n(t) = p\,\{\max (X_1,..,X_n) \leq n t \,\} = (F(nt))^n = a_n\,.$$

Dobbiamo calcolare il limite (per $n \rightarrow \infty$) di $a_n$ che è una forma indeterminata del tipo $1^\infty$. Si ha $\log a_n = \frac{\log F(nt)}{1/n}$; usando la regola di de l'Hôpital si trova:

$$\lim_n a_n = \exp (-t \lim_n n^2 f(nt)) = \exp (- \frac{2}{\pi\,t})\,.$$

Siano $\phi_n,\;\phi$ le funzioni caratteristiche di $X_n,\;X$. Vale il seguente importante risultato:
Teorema (P. Lévy). $X_n$ converge in legge a $X$ se e solo se $\phi_n(\theta)$ converge a $\phi(\theta)$ per ogni $\theta \in {\bf R}$.

Teorema Limite Centrale Sia $\{X_n\}$ una successione di var.al. indipendenti aventi la stessa densità. Supponiamo che esistono la media $\mu = E[X_k]$, e la varianza $\sigma^2 = {\rm Var}(X_k)$. Allora, posto $S_n^* = \frac{X_1+..+X_n -\, n\mu}{\sigma \sqrt{n}}$, si ha che le var.al. $S_n^*$ convergono in legge a una var.al $X$ che è $N(0,1)$ (cioè normale di media 0 e varianza 1).
Dimostrazione. Poniamo $Y_k = \frac{X_k-\mu}{\sigma}$, le var.al. $Y_k$ hanno media nulla, varianza 1 e $S_n^* = \frac{(Y_1+..+Y_n)}{\sqrt{n}}$. Indichiamo con $\phi$ la funzione caratteristica comune alle $Y_k\,:$ abbiamo che $\phi_{S_n^*}(\theta) = \phi(\frac{\theta}{\sqrt{n}})^n$. Per il teorema di P. Lévy basterà mostrare che $\phi_{S_n^*}(\theta) \rightarrow {\rm e}^{\frac{-\theta^2}{2}}$, che è la funzione caratteristica di una $N(0,1)$.
Intanto, visto che $\phi'(0) = iE[Y_k] = 0\,;\; \phi''(0) = -{\rm Var}(Y_k) = -1$, possiamo scrivere

$$\phi(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) ,$$

e quindi, per ogni fissato $\theta$,

$$\phi(\frac{\theta}{\sqrt{n}}) - 1 = -\frac{\theta^2}{2n} + o(\frac{1}{n}).$$

Abbiamo dunque

$$\phi_{S_n^*}(\theta) = (1 + (\phi(\frac{\theta}{\sqrt{n}}) - 1))^n =$$

$$= \exp [n\log (1 + (\phi(\frac{\theta}{\sqrt{n}}) - 1))] =$$

(ricordando che $\log(1+x) \sim x$)

$$= \exp [-\frac{\theta^2}{2}+ o(1)].$$

L'ultima espressione per $n \rightarrow \infty$ tende a ${\rm e}^{\frac{-\theta^2}{2}}$.