Numeri a caso, simulazione

Consideriamo il seguente problema: è data una var.al. $X$ con legge uniforme su [0,1] (per esempio ``numeri a caso" generati da un calcolatore) ed è assegnata una densità $g$; si cerca una funzione $h$ tale che la var.al. $h(X)$ abbia come densità proprio la $g$.
Supporremo $g(x)$ nulla per $x < a\,,\, x > b$ e strettamente positiva nell'intervallo $(a,b)$. In queste ipotesi la sua f.r. $G$ è strettamente crescente e quindi invertibile nell'intervallo $(a,b)$. Sia dunque $G^{-1}$ l'inversa di $G$ in $(a,b)$ e sia $Y = G^{-1}(X)$; avremo (ricordando che la f.r. di $X$ è l'identità in [0,1])

$$F_Y(t) = p\,\{ G^{-1}(X) \leq t\,\} = p\,\{X \leq G(t)\,\} = G(t).$$

Dunque $F_Y = G$ e $f_Y = g$. Facciamo ora degli esempi di simulazioni.

1 Legge esponenziale. La f.r. $F$, che è concentrata sulla semiretta positiva, vale $F(t) = 1 - {\rm e}^{-\lambda t}$. Si ha $F^{-1}(x) = -\frac{1}{\lambda}\log(1-x)$. Se la var.al $X$ è uniforme su [0,1], allora la var.al. $Y = -\frac{1}{\lambda}\log(1-X)$ è esponenziale di parametro $\lambda$.
2 Simulazione prove di Bernoulli. Sia assegnato un numero $p$ con $0 < p < 1$ e, per $i=1,..,n$, sia $K_i$ un numero a caso in [0,1]. Definiamo le var.al. $X_i$ ponendo $X_i = 1$ se $K_i \leq p$ e $X_i = 0$ altrimenti. La somma $(X_1+..+X_n)$ è una var.al. $\sim B(n,p)$.
3 Legge normale. Prendiamo una var.al. $X$ uniforme sul cerchio unitario e consideriamo, vedi l'esempio 4.6.1, la var.al $Z = \frac{2 \sqrt{-\log\vert\vert X\vert\vert}}{\vert\vert X\vert\vert} X$ che ha densità

$$f(y_1,y_2) = \frac{1}{2\pi}{\rm e}^{-\frac{y_1^2+y_2^2}{2}} =... ...ac{y_1^2}{2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\rm e}^{-\frac{y_2^2}{2}}.$$

Questo significa che le componenti $Z_1, Z_2$ di $Z$ sono indipendenti e $\sim N(0,1)$.