Esempi

1 Legge uniforme. Sia la var.al. $X$ uniforme su [0,1]. Allora

$$E[X] = \int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2} \,,\; E[X^2] = \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}\,,\;{\rm Var}(X) = \frac{1}{12}\,.$$

2 Leggi normali. Sia $X \sim N(0,1)$. La sua densità vale $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} {\rm e}^{-\frac{x^2}{2}}$. Siccome $x f(x)$ è una funzione dispari su ${\bf R}$, avremo $E[X] = 0$. In questo caso ${\rm Var}(X) = E[X^2]$; l'integrale si calcola per parti e vale 1. Riassumendo

$$E[X] = 0\,,\; {\rm Var}(X) = 1\,.$$

Se $Y \sim N(\mu,\sigma^2)$ ( $f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}{\rm e}^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}$), allora si può considerare che $Y = \sigma X + \mu$. Si ottiene subito che

$$E[Y] = \mu \,,\; {\rm Var}(Y) = \sigma^2\,.$$

3 Leggi gamma. Se $X \sim \Gamma(\alpha,\lambda)$ e $\beta > 0$, allora con facili calcoli si vede che

$$E[X^\beta] = \frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\lambda^\beta \Gamma(\alpha)}\,.$$

Otteniamo quindi subito

$$E[X] = \frac{\alpha}{\lambda}\,,\; {\rm Var}(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}\,.$$

Per le leggi esponenziali ($\alpha = 1$) si ha

$$E[X] = \frac{1}{\lambda}\,,\; {\rm Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}\,.$$

Se $X \sim \chi^2(n)$ ( $\alpha = n/2\,,\lambda = 1/2$) si ha

$$E[X] = n\,,\; {\rm Var}(X) = 2n\,.$$