Media, momenti e varianza

Definizioni e risultati sono del tutto simili al caso discreto (2.5, 2.6).
Sia $X$ una var.al. continua con densità $f$, si dice che $X$ ha media finita se

$$\int_{-\infty}^{+\infty} \vert x\vert f(x)\,dx < +\infty \,,$$

in tal caso la sua media $E[X]$ vale

$$E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx < +\infty \,.$$

Teorema 4.9.1. Siano $X_1,..,X_n$ var.al. di densità congiunta $f$; sia $h: R^n \rightarrow R$ una funzione "ragionevole". Allora la var.al. $Z = h(X_1,..,X_n)$ ha media finita se e solo se

$$\int_{-\infty}^{+\infty} ..\int_{-\infty}^{+\infty} \vert h(x_1,..,x_n)\vert\, f(x_1,..,x_n)\,dx_1..dx_n < +\infty\,,$$

in tal caso la media $E[Z]$ vale

$$E[Z] = \int_{-\infty}^{+\infty} ..\int_{-\infty}^{+\infty} h(x_1,..,x_n)\, f(x_1,..,x_n)\,dx_1..dx_n < +\infty \,.$$

Ecco alcune proprietà della media.
Teorema 4.9.2. Siano $X$ e $Y$ var.al. con media finita. Allora:
i) $(aX + bY)$ ha media finita e $E[aX + bY] = aE[X]+bE[Y];$
ii) $\vert X\vert$ ha media finita e $\vert E[X]\vert \leq E[\vert X\vert];$
se inoltre $X$ e $Y$ sono indipendenti
iii) $XY$ ha media finita e $E[XY] = E[X]E[Y]$ .
Sia $X$ una var.al. di densità $f$; diremo che $X$ ha momento di ordine $k$ finito ($k=1,2..$) se $X^k$ ha media finita. In questo caso $E[X^k]$ si chiama momento di ordine $k$ della var.al. $X$:

$$E[X^k] = \int x^k f(x)\,dx.$$

Se $(X-E[X])^k$ ha media finita diremo che $X$ ha momento centrato di ordine $k$ finito e chiameremo $E[(X-E[X])^k]$ momento centrato di ordine $k$ di $X$.
Teorema 4.9.3. i) Se $X$ ha momento finito di ordine $k$, allora ha anche momento finito di ordine $r$ per ogni $r \leq k$.
ii) Se $X$ e $Y$ hanno momento finito di ordine $k$, allora anche $(X + Y)$ ha momento finito di ordine $k$. In particolare se $X$ ha momento finito di ordine $k$, allora ha anche momento centrato finito di ordine $k$.
Ricordiamo che il momento centrato di ordine 2 viene chiamato varianza:

$${\rm Var}(X) = E[(X-E[X])^2] \,.$$

Vale la disuguaglianza di Chebyshev. Se per la var.al. $X$ esiste il momento $E[X^2]$ (e di conseguenza la varianza) si ha:

$$p\{\vert X\vert > c\} \leq \frac{E[X^2]}{c^2};$$

in particolare, posto $\mu = E[X]$,

$$p\{\vert X - \mu\vert > c\} \leq \frac{{\rm Var}(X)}{c^2}.$$

Fissata la var.al. $X$, denotiamo al solito media e varianza con $\mu$ e $\sigma^2$.
Se $X$ e $Y$ hanno varianza finita, è finita anche la covarianza di $X$ e $Y$:

$${\rm Cov}(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)].$$

Teorema 4.9.3. Si ha:
i) ${\rm Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2$;
ii) ${\rm Var}(aX) = a^2{\rm Var}(X), \;{\rm Var}(a+X) = {\rm Var}(X)$ ;
iii) ${\rm Var}(X+Y) = {\rm Var}(X) + {\rm Var}(Y) + 2{\rm Cov}(X,Y)$;
iv) ${\rm Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$.
Se $X$ e $Y$ sono indipendenti si ha

$${\rm Cov}(X,Y) = 0; \; {\rm Var}(X+Y) = {\rm Var}(X) + {\rm Var}(Y)\,.$$

Quando ${\rm Cov}(X,Y) = 0$ le var.al. $X$ e $Y$ non sono correlate. Per il coefficiente di correlazione $\rho_{X,Y}$ si ha

$$\rho_{X,Y} = \frac{{\rm Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$$

Ricordiamo che $-1 \leq \rho_{X,Y} \leq 1$.