Esempi.

Diremo che su $\Omega$ c'è una distribuzione uniforme di probabilità se $p$ è costante su gli atomi di $\Omega$; in questo caso si può prendere ${\cal A} = {\cal P}(\Omega$) e per ogni $A \subset \Omega$ si ha $p(A) = \frac{{\rm card}(A)}{{\rm card}(\Omega)}$.
Uno schema molto comune in casi di distribuzione uniforme di probabilità è il seguente:

Collocamento a caso di $r$ palle in $n$ celle.
Qui $r$ ed $n$ sono numeri naturali positivi. Esistono $n^r$ arrangiamenti possibili, a ciascuno dei quali attribuiremo probabilità $1/n^r$ (basta osservare che per la prima palla ci sono $n$ scelte, altrettante per la seconda, la terza e così via). Ecco degli esempi concreti:

Totocalcio. Le ``$r$ palle" sono le 13 partite, le ``$n$ celle" sono i tre possibili risultati 1, x, 2 degli incontri. Se per ogni partita 1, x, 2 sono equiprobabili (ipotesi non realistica), allora la probabilità di ``fare 13", cioè di indovinare tutti i risultati, vale $p = 3^{-13} = 6,27 .10^{-7}$.

$r$ lanci di monete. Le ``$r$ palle" sono gli $r$ lanci, le ``$n$ celle" sono i 2 risultati T e C. Se in ogni lancio T e C hanno probabilità 1/2, allora le $2^r$ sequenze possibili di risultati sono equiprobabili, per es. la probabilità di una sequenza tutta di teste vale $2^{-r}$.

Compleanni. Le ``$r$ palle" sono $r$ persone scelte a caso, le ``$n$ celle" sono i 365 giorni dell'anno. Se si considera equiprobabile ogni data, allora ogni distribuzione di compleanni di $r$ persone ha probabilità $p = 365^{-r}$. Consideriamo il seguente problema: quanto vale la probabilità $p_r(A)$ dell'evento $A$ = ``nel gruppo almeno due persone hanno il compleanno nello stesso giorno" ?
Calcoliamo la probabilità dell'evento complementare $A^c$ = ``le persone del gruppo hanno il compleanno in giorni tutti distinti". Per la prima persona si può scegliere in 365 modi, per la seconda in 364, per la terza in 363 e così via. Le scelte possibili sono $365(365-1)..(365-r+1)$ e quindi

$$p_r(A^c) = \frac{365(365-1)..(365-r+1)}{365^r}; \;\; p_r(A) = 1 - p_r(A^c).$$

Per $r\geq 23 \;\; p_r(A)$ è maggiore di $1/2$.

Estrazione con rimpiazzamento. Le ``$r$ palle" sono $r$ palle estratte a caso da un'urna contenente $n$ palle chiamate ``1", ``2",..,``n" (dopo ogni estrazione la palla estratta viene reintrodotta nell'urna), le ``$n$ celle" sono gli $n$ nomi delle palle nell'urna. Con $r$ estrazioni si possono ottenere $n^r$ campioni distinti.

Consideriamo ora un problema un po' più complesso.

Distribuzione ipergeometrica. In una popolazione di $n$ individui ce ne sono $r$ rossi ($r \leq n$); si scelgono a caso $s$ individui ($s \leq n$), determinare la probabilità $q_k$ che questo gruppo contenga esattamente $k$ individui rossi ( $0 \leq k \leq \min (s,r)$). Dal gruppo dei rossi si possono scegliere $k$ individui in ${r\choose k}$ modi, gli altri $(s-k)$ in ${n-r\choose s- k}$ modi; pertanto

$$q_k = \frac{{r\choose k} {n-r\choose s- k}}{{n\choose s}}\,;$$

con semplice manipolazione dei coefficienti binomiali $q_k$ si può anche scrivere

$$q_k = \frac{{s\choose k} {n-s\choose r- k}}{{n\choose r}}\,.$$

Diamo un semplice esempio
Gioco del lotto. Giochiamo tre numeri su una data ruota, qual'è la probabilità di vincere? Usando le notazioni di sopra si ha: $n = 90; r = 3; s = 5; k = 3$ per cui $q_3 = \frac{{5 \choose 3} {85 \choose 0}}{{90 \choose 3}} = \frac{1}{11748}.$