Prime definizioni

I possibili risultati di un ``esperimento'' costituiscono lo ``spazio dei campioni" o ``spazio di probabilità''. Le parole chiave sono spiegate dagli esempi che seguono.
1 Lancio di un dado : {1,2,3,4,5,6}
2 Lancio di una moneta : {T,C}
3 Due lanci successivi di una moneta : {TT,TC,CT,CC}
In questi esempi lo spazio dei campioni ha cardinalità rispett. 6, 2, 4. Ma ecco un esempio con cardinalità infinita:
4 Lanci successivi di una moneta finchè venga testa:

$$\{{\rm T,CT,CCT,CCCT,...,CCC..CT},...\}$$

Interessa sapere se il risultato dell'esperimento conferma (rientra in) o no un ``evento'' previsto. Questa nuova parola chiave sarà spiegata usando gli esempi di sopra. Sono eventi:
1 : $A$ = ``viene un numero pari'' = {2,4,6}
2 : $A$ = ``non viene nè testa nè croce'' = $\emptyset$
3 : $A$ = ``viene almeno una volta testa'' = {TT,TC,CT}
4 : $A$ = ``viene testa in non più di 3 lanci'' = {T,CT,CCT}
Come si vede gli ``eventi'' sono sottoinsiemi dell'insieme costituito dallo spazio dei campioni, i risultati degli esperimenti (atomi, eventi semplici) sono dunque gli elementi (punti) dello spazio dei campioni, che indicheremo con $\Omega$. Gli eventi sono dunque una sottofamiglia ${\cal A}$ di ${\cal P}(\Omega$) (parti di $\Omega$).
Nell'esempio 1 se $B$ è l'evento ``viene un numero minore o uguale a 2'' = {1,2}; è naturale considerare come evento ``viene un numero pari oppure viene un numero minore o uguale a 2'' = {1,2,4,6} che poi è $A \cup B$ l'evento unione.
Nell'esempio 3 è naturale considerare come evento ``non viene mai testa'' = {CC} che poi è $A^c = \Omega \setminus A$ l'evento complementare.
Questa ultima osservazione suggerisce di premettere la
Definizione 1.1.1. Una famiglia ${\cal A}$ di sottoinsiemi di un insieme $\Omega$ si dice che è una $\sigma$- algebra di $\Omega$ se:
i) $\Omega \in {\cal A}$.
ii) $A \in {\cal A} \Rightarrow A^c \in {\cal A}$.
iii) $A_n \in {\cal A}$ per n = 1,2,... $\Rightarrow {\displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty A_n} \in {\cal A}$.

L'esempio 4 spiega perchè richiedere che l'unione contabile di eventi sia un evento. Si osservi che dagli assiomi segue che l'insieme vuoto è un evento così come l'intersezione contabile di eventi.

Facendo riferimento all'idea intuitiva di probabilità, nei primi tre esempi concordiamo nel dire che ogni evento semplice ha la stessa possibilità di realizzarsi: rispett. una su sei, una su due e una su quattro. Prendiamo ora un dado e segnamo quattro facce con T e le altre due con C, si ottiene un esempio in cui lo spazio dei campioni (come insieme) coincide con quello dell'esempio 2: {T,C}; tuttavia concorderemo nel dire che i due eventi semplici non hanno la stessa possibilità di realizzarsi, ne daremo a T quattro su sei e a C due su sei. Se A non è un evento semplice, concorderemo nell'assegnargli come possibilità di realizzarsi la somma delle possibilità degli atomi che lo compongono. Chiamiamo dunque questa possibilità $p(A)$, la probabilità che $A$ si verifichi. Siamo indotti subito a dire che $\Omega$ = ``evento certo" e $\emptyset$ = ``evento impossibile" hanno probabilità rispett. 1 e 0. Si ha subito da qua che se $\Omega$ ha cardinalità infinita (come nell'esempio 4), i suoi atomi non possono avere tutti la stessa probabilità. (In 4 le probabilità sono rispett. $1/2,1/4,..$ e, come deve essere, ${\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}} = 1$. Si noti che abbiamo tacitamente ammesso questo fatto: ``prima o poi deve necessariamente uscire testa" che risulta essere $\Omega$, l'evento certo). La probabilità $p$ dovrà essere quella che i matematici chiamano una misura (positiva) definita su una $\sigma$-algebra di un insieme $\Omega$ con la condizione che la misura di $\Omega$ sia 1, cioè
Definizione 1.1.2. Siano $\Omega$ un insieme e ${\cal A}$ una $\sigma$-algebra di $\Omega$; una probabilità $p$ è una applicazione $p :{\cal A} \rightarrow [0,1]$ tale che:
i) $p(\Omega) = 1$.
ii) Se per $n \in N, A_n \in {\cal A}$ e gli insiemi $A_n$ sono a due a due disgiunti allora ($\sigma$-additività)

$$p(\bigcup_{n=1}^\infty A_n) = \sum_{n=1}^\infty p(A_n)$$

Dall'esempio 4 comprendiamo la necessità di richiedere la completa additività della probabilità. Siamo ora pronti a dare la
Definizione 1.1.3. Uno spazio di probabilità è una terna $\{\Omega,{\cal A}, p \}$ dove $\Omega$ è un insieme, A una $\sigma$-algebra di $\Omega$ e $p$ una probabilità su A.
Teorema 1.1.1.

$$p(A \cup B) = p(A) + p(B) - P(A \cap B)$$

inoltre se $B \subset A$ si ha

$$p(B) \leq p(A) \;; \hspace{1cm} p(A \setminus B) = p(A) - p(B)$$

Dimostrazione. Basta osservare che $B = (B \cap A) \cup (B \cap A^c)$, per cui $p(B) = p(A \cap B) + p(B \cap A^c)$; $A \cup B = A \cup (B \cap A^c)$, per cui $p(A \cup B) = p(A) + p(B \cap A^c)$.
Nel caso che $B \subset A$ le altre formule si provano scrivendo $A = B \cup (A \setminus B)$.

Si osservi che questo risultato implica in particolare che per eventi qualsiasi $A_n$ (non necessariamente disgiunti) si ha

$$p(\bigcup_{n=1}^\infty A_n) \leq \sum_{n=1}^\infty p(A_n)$$

Per fare un esempio prendiamo il lancio di due dadi. Come spazio dei campioni si può prendere $\Omega = \{(i,j) : i,j = 1,..,6 \}$, dove nella coppia ordinata il primo (secondo) elemento è il numero uscito nel primo (secondo) dado. Assegnamo la probabilità uniforme, per cui se $x \in \Omega ,\;\; p(x) = 1/36.$ Calcoliamo la probabilità dell'evento $S$ = ``esce almeno una volta il 6". Le coppie che non contengono il 6 sono 25, per cui $p(S) = 1 - 25/36 =11/36$. Si poteva usare il Teorema di sopra: $S = A_6 \cup B_6$ dove $A_6 ( B_6)$ è l'insieme delle coppie con primo (secondo) elemento il 6. Si ha $p(A_6)= p(B_6) = 1/6$; inoltre si ha $A_6 \cap B_6 = \{(6,6)\}$, per cui $p(A_6 \cup B_6) = p(A_6) + p(B_6) - p(A_6 \cap B_6) = 2/6 - 1/36 = 11/36$.
Teorema 1.1.2. Sia $\{\Omega,{\cal A}, p \}$ uno spazio di probabilità: se $\{C_n \}$ è una successione crescente di elementi di ${\cal A}$ allora

$$p(C_n) \rightarrow p(C), \;\;\; C = \bigcup_{n=1}^\infty C_n$$

se $\{D_n \}$ è una successione decrescente di elementi di ${\cal A}$ allora

$$p(D_n) \rightarrow p(D), \;\;\; D = \bigcap_{n=1}^\infty D_n$$

Dimostrazione. Poniamo $B_1 = C_1, B_n = C_n \setminus C_{n-1}$, allora i $B_n$ sono in ${\cal A}$, sono a due a due disgiunti e inoltre $C_n = B_1 \cup ...\cup B_n, \;\; C = {\displaystyle \bigcup_{i=1}^\infty B_i}$. Pertanto

$$p(C_n) = \sum_{i=1}^n p(B_i); \;\; p(C) = \sum_{i=1}^\infty p(B_i)$$

e la prima formula segue dalla definizione di somma di una serie.
Poniamo ora $S_n = D_1 \setminus D_n$, allora gli $S_n$ sono una successione crescente e $p(S_n) = p(D_1) - p(D_n); \;D_1 \setminus D = \bigcup S_n$, applicando la formula precedente si ha

$$p(D_1) - p(D) = p(D_1 \setminus D) = \lim p(S_n) = p(D_1) - \lim p(D_n)$$

e questo prova la seconda formula.

Come applicazione di questa seconda formula dimostriamo l'utile
Teorema 1.1.3 (Lemma di Cantelli). Sia $\{E_k\}$ una successione di eventi tale che ${\displaystyle \sum_{k=1}^\infty} p(E_k) < \infty$; allora la probabilità che si verifichino simultaneamente infiniti eventi della successione è nulla.
Dimostrazione. Sia $A$ l'evento ``si verificano simultaneamente infiniti eventi $E_k$" e poniamo $B_n = {\displaystyle \bigcup _{k=n}^\infty} E_k$. Sia $x \in A$, se $x$ non appartenesse a un $B_n$ per un certo $n$, $x$ apparterrebbe solo a un numero finito di $E_k$, pertanto $x$ sta in ogni $B_n$ e quindi $A \subset \bigcap _{n=1}^\infty B_n$. Sia ora $x \in \bigcap _{n=1}^\infty B_n$, Se $x$ appartenesse solo a un numero finito di $E_k$, esisterebbe $p$ tale che $x$ non sta in $E_i$ per $i > p$, ma allora $x$ non starebbe in $B_{p+1}$ : una contraddizione. Abbiamo provato che

$$A = \bigcap _{n=1}^\infty B_n = \bigcap _{n=1}^\infty \bigcup _{k=n}^\infty E_k.$$

Siccome $\{B_n\}$ decresce si ha $p(A) = {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}} p(B_n)$; d'altra parte si ha $0 \leq p(B_n) \leq p(E_n) + p(E_{n+1}) + ..$ e dal fatto che la serie $\sum p(E_k)$ converge segue subito che $p(B_n) \rightarrow 0$.