Leggi normali

Riprendiamo qui la densità normale $f$:

$$f(x) = \Phi'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\rm e}^{-\frac{x^2}{2}}.$$

Sia $X$ una var.al. che abbia per densità questa $f$ e siano $\sigma$ e $\mu$ numeri reali con $\sigma > 0$. La var.al. $Y = \sigma X + \mu$ ha, come abbiamo visto, densità

$$g(y) = \frac{1}{\vert\sigma\vert}f(\frac{y-\mu}{\sigma}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}{\rm e}^{-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}.$$

Una densità $g$ come sopra si dice normale o gaussiana di parametri $\mu$ e $\sigma^2$, o anche una $N(\mu,\sigma^2)$, per la var.al. $Y$ si usa anche scrivere $Y \sim N(\mu,\sigma^2)$. La $f$ considerata è quindi una $N(0,1)$; una $N(\mu,\sigma^2)$ si può riguardare come densità di una var.al. $\sigma X + \mu$ dove $X$ ha legge $N(0,1)$. La f.r. $\Phi_{\mu,\sigma^2}$ di una $N(\mu,\sigma^2)$ si deduce, come segue, dalla f.r. di una $N(0,1)$:

$$\Phi_{\mu,\sigma^2}(t) = p\,\{ \sigma X + \mu \leq t \,\} = ... ...X \leq \frac{t-\mu}{\sigma} \,\} = \Phi(\frac{t-\mu}{\sigma}) .$$

Faremo vedere, con il metodo delle funzioni caratteristiche, che la somma di $n$ var.al. indipendenti $X_i \sim N(\mu_i, \sigma^2_i)$ è una $G_n \sim N(\mu, \sigma^2)$ con $\mu = \sum \mu_i \;,\;\sigma^2 = \sum \sigma^2_i$.