Calcolo di leggi

Un problema comune è il seguente: sia $X$ un vettore al. $n$-dimensionale di cui si conosce la densità (congiunta) $f$ e sia $h : {\bf R}^n \rightarrow {\bf R}$ una funzione ``ragionevole": calcolare la densità della var.al. $h(X)$.
Una soluzione possibile consiste nel calcolare la f.r. di $h(X)$ e poi derivarla. In effetti si ha: $F_{h(X)}(t) = p\,\{ h(X) \leq t \,\} = p\,\{ X \in h^{-1}(-\infty ,t] = A_t \,\} = \int_{A_t} f$.
Esempio. Sia $X$ una var.al. di densità $f$, calcolare le densità $g$ di $a X + b$ ($a \neq 0)$ e di $X^2$ .
Nel primo caso, se $a > 0$, $p\,\{a X + b \leq t \,\} =p\,\{ X \leq \frac{t-b}{a} \,\} = F_X(\frac{t-b}{a})$, pertanto derivando si ottiene $g(t) = \frac{1}{a} f(\frac{t-b}{a})$. Se $a < 0$, $p\,\{a X + b \leq t \,\} = p\,\{ X \geq \frac{t-b}{a} \,\} = 1 - F_X(\frac{t-b}{a})$, derivando si ottiene ora $g(t) = -\frac{1}{a} f(\frac{t-b}{a})$. In definitiva si ha per ogni $a \neq 0$: $g(t) = \frac{1}{\vert a\vert} f(\frac{t-b}{a})$.
Indichiamo con $g$ la densità di $X^2$. Si ha, prendendo $t \geq 0$,

$$p\,\{ X^2 \leq t \,\} = p\,\{ -\sqrt{t} \leq X \leq \sqrt{t} \,\} = F_X(\sqrt{t}) - F_X(-\sqrt{t})$$

e derivando si ottiene $g(t) = \frac{f(\sqrt{t}) + f(-\sqrt{t})}{2 \sqrt{t}}$.

Teorema. Siano $X$ e $Y$ var.al. di densità congiunta $f$, allora la densità $g$ di $X+Y$ vale

$$g(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \,dx .$$

Dimostrazione. Sia $S_t = \{ (x,y): x+y \leq t \}$, allora la f.r. $G$ della somma vale $G(t) = \int_{S_t} f(x,y) \, dx \,dy = \int_{-\infty}^{+\infty} dx (\int_{-\infty}^{t-x}f(x,y)\,dy)$, col cambiamento di variabile $y = z-x$ si ottiene $G(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} dx (\int_{-\infty}^tf(x,z-x)\,dz)$ da cui cambiando l'ordine di integrazione si ha infine

$$G(t) = \int_{-\infty}^t dz \,(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\,dx \,)$$

ossia $G(t) = \int_{-\infty}^t g(z)\,dz$.
A volte la densità di una somma si calcola in modo diretto come nel seguente
Esempio. Siano $X$ e $Y$ var.al. indipendenti e uniformi in [0,1]. La var.al. $X+Y = Z$ prende valori in [0,2]. Sul quadrato unitario del piano $Oxy$ si disegni la retta di equazione $x + y = t$. $F_Z(t)$ vale l'area della parte di quadrato a sinistra di questa retta. Conviene distinguere i casi $t > 1$ e $t < 1$. Avremo

$$F_Z(t) = t^2/2 \;\;{\rm se}\;\; 0 \leq t \leq 1 \,,\;\; F_Z(t) = 1 - (2-t)^2/2 \;\;{\rm se}\;\; 1 < t \leq 2 \,.$$

Di conseguenza la densità vale

$$f_Z(t) = t\;\;{\rm se}\;\; 0 \leq t \leq 1\,, \;\; f_Z(t) = 2 - t \;\;{\rm se}\;\; 1 < t \leq 2 \,.$$

Nel caso vettoriale per trovare la densità di $h(X)$ bisogna ricorrere alla formula del cambiamento di variabili negli integrali multipli.
Sia $X = (X_1, X_2)$ un vettore al. di densità congiunta $f$ e sia $h: R^2 \rightarrow R^2$ una funzione per cui valga la formula del cambiamento di variabili negli integrali doppi. Si cerca la densità $g$ del vettore al. $Y = h(X)$. Abbiamo intanto per un ``ragionevole" $A \subset R^2$ che

$$\int_{h^{-1}(A)} f(x_1,x_2) \,dx_1dx_2 = p\,\{X \in h^{-1}(A) \,\} = p\,\{h(X) \in A \,\} = \int_A g(y_1,y_2) \,dy_1dy_2 .$$

Applicando il cambiamento di variabile $\underline{x} = h^{-1}(\underline{y})$ si ha

$$\int_{h^{-1}(A)} f(\underline{x}) \,d\underline{x} = \int_A ... ...erline{y)}) \vert D h^{-1}(\underline{y})\vert \,d\underline{y}$$

dove $D h^{-1}$ è il determinante jacobiano della trasformazione $h^{-1}$.
Siccome per ``quasi tutti" gli $A$ vale l'uguaglianza

$$\int_A g(\underline{y}) \,d\underline{y} = \int_A f(h^{-1}(\... ...line{y)}) \vert D h^{-1}(\underline{y})\vert \,d\underline{y} ,$$

possiamo concludere che

$$g(\underline{y}) = f(h^{-1}(\underline{y)}) \vert D h^{-1}(\underline{y})\vert .$$

A volte per studiare un problema conviene cambiare coordinate. Trattiamo il caso delle coordinate polari sul piano.
Sia $V = (X, Y)$ un vettore al. di densità congiunta $f$; passiamo alle coordinate polari ponendo

$$X = R \cos\Theta \, , \; Y = R \sin\Theta$$

dove $W = (R, \Theta)$ è ristretto a $R \geq 0,\; -\pi < \Theta \leq \pi$. Se $A \subset R^2$ avremo

$$p(A) = \int_A f(x,y) \,dxdy = \int_{A'} f(r\cos\theta, r\sin\theta) r \,dr d\theta$$

dove $A$ è l'immagine di $A'$ nella trasformazione. Ma gli eventi $V \in A$ e $W \in A'$ sono identici; questo significa che la densità congiunta $g$ di $W$ vale $g(r, \theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta) r$.
Applichiamo questo risultato alla densità uniforme sul cerchio già considerata (vedi Esempio 3 in 4.4.). Avremo

$$g(r, \theta) = \frac{r}{\pi R^2} \;\;\;\;0 \leq r \leq R ,\; -\pi < \theta \leq \pi\,,$$

da cui si ottengono con semplici calcoli le densità marginali

$$g_R(r) = \frac{2 r}{R^2}\,,\;\; g_\Theta(\theta) = \frac{1}{2 \pi}\,.$$

Siccome $g(r, \theta) = g_R(r) g_\Theta(\theta)$ si vede che le var.al. $R$ e $\Theta$ sono indipendenti (mentre $X$ e $Y$ non lo sono).

Esempio 4.6.1. Sia $X = (X_1, X_2)$ una var.al. uniforme sul cerchio unitario, si cerca la densità della var.al. $Z = \frac{2 \; \sqrt{-\log \vert\vert X\vert\vert}}{\vert\vert X\vert\vert} X$.
Passando alle coordinate polari sia $Y = (R, \Theta)$, per quanto visto $Y$ ha densità $\frac{r}{\pi}$ sul rettangolo (del piano $r \;\theta$) $[0,1] \times [-\pi, \pi]$. Si ha $W = Z(R \cos\Theta, R \sin\Theta) = ( 2\sqrt{\log 1/R} , \Theta ) = h(Y)$. Indicando con $s, \psi$ le variabili della inversa, si vede che $h^{-1}(s, \psi) = ({\rm e}^{-\frac{s^2}{4}}, \psi)$. Il modulo del determinante Jacobiano della $h^{-1}$ vale $\frac{s}{2}{\rm e}^{-\frac{s^2}{4}}$. La densità di $W$ vale pertanto $\frac{{\rm e}^{-\frac{s^2}{4}}}{\pi} \frac{s}{2}{\rm e}^{-\frac{s^2}{4}} = \frac{s}{2\pi}{\rm e}^{-\frac{s^2}{2}}$. Dividendo per $s$ e rimettendo le coordinate cartesiane si ottiene la densità richiesta di $Z$ espressa appunto con le coordinate cartesiane:

$$g(y_1,y_2) = \frac{1}{2\pi}{\rm e}^{-\frac{y_1^2+y_2^2}{2}}.$$

Poichè $g$ è una densità, deve avere integrale su $R^2$ uguale a 1, da questa osservazione si deduce che

$$\int_{-\infty}^{+\infty} {\rm e}^{-\frac{x^2}{2}} \,dx = \sqrt{2\pi}.$$