Densità condizionali

Due var.al, $X$ e $Y$ abbiano densità congiunta $f$ e marginali $f_X , f_Y$. Si chiama densità condizionale di $X$ dato $Y = y$ la quantità

$$f_{X\vert Y}(x\vert y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$$

se $f_Y(y) > 0$, se $f_Y(y) = 0$ porremo $f_{X\vert Y}(x\vert y) = 0$. Si osservi che per ogni $y$ con $f_Y(y) > 0$ la funzione $x \rightarrow f_{X\vert Y}(x\vert y)$ è una densità, dal momento che $\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X\vert Y}(x\vert y)\, dx = 1$. Nell'esempio 3 del paragrafo precedente si ha che, se $\vert y\vert < R$, allora

$$f_{X\vert Y}(x\vert y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2... ...eq \sqrt{R^2-y^2}$}\\ 0 & \mbox{altrimenti} \end{array}\right.$$

quindi la densità condizionale di $X$ dato $Y = y$ è la densità uniforme sull'intervallo $[-\sqrt{R^2-y^2}, \sqrt{R^2-y^2}]$.
Osserviamo che si possono definire densità condizionali anche per vettori al. misti cioè aventi una componente a.c. e una discreta.