Indipendenza

Due var.al. $X$ e $Y$ si dicono indipendenti (la definizione si estende a un numero qualsiasi) se per ogni scelta dei numeri $a, b ; c, d$ si ha:

$$p \{ a \leq X \leq b \; , c \leq Y \leq d \; \} = p \{ a \leq X \leq b \;\} p \{ c \leq Y \leq d \; \} .$$

Se esistono le densità marginali $f_X \,, f_Y$ e la densità congiunta $f$, allora la condizione di indipendenza si traduce nella formula

$$\int_a^b du \int_c^d f(u,v)dv = \int_a^b f_X(u) du \int_c^d f_Y(v) dv \,;$$

questa uguaglianza è certo verificata se per ogni $u, v$ si ha

$$f(u,v) = f_X(u) f_Y(v) \, .$$

Si può provare che quest'ultima condizione è anche necessaria per l'indipendenza.

Esempio 1. Ago di Buffon. Il piano $Oxy$ è diviso con strisce parallele all'asse $y$ di larghezza unitaria. Un ago di lunghezza unitaria viene gettato a caso sul piano. Si domanda quanto vale la probabilità che l'ago stia in due strisce. Consideriamo il centro dell'ago: la sua posizione è determinata da due coordinate, ma possiamo ignorare la $y$ e ridurre la $x$ modulo 1 (considerare cioè come se la $x$ prendesse solo valori in [0,1]). La direzione dell'ago sia l'angolo che fa l'ago con l'asse $x$; una rotazione dell'ago (attorno al centro) di $\pi$ riproduce la sua posizione per cui l'angolo può essere preso variabile tra $- \pi/2$ e $\pi/2$. Indicheremo con $X$ la var.al. ``centro dell'ago" e con $\pi Y$ la var.al. ``direzione". Si suppone che $X$ e $Y$ siano indipendenti con densità uniforme negli intervalli [0,1] e [-1/2, 1/2]. Si ha che l'ago taglia un confine se e solo se $1/2 \cos \pi Y > X$ oppure $1/2 \cos \pi Y > 1 - X$. Nel quadrato $[0,1] \times [-1/2, 1/2]$ si disegnino le curve $1/2 \cos \pi y = x$ e $1/2 \cos \pi y = 1 - x$. La probabilità P richiesta è misurata dall'area di quella parte del quadrato limitata dalle curve e dalle parallele all'asse $y$. Tenendo conto delle simmetrie questa area vale $4 \int_0^{1/2}1/2 \cos \pi y \,dy$ per cui P = 2/$\pi$.

Esempio 2. Triangoli. Si prendono tre punti a caso nel piano, qual'è la probabilità P che il triangolo ottenuto sia ottusangolo? Possiamo ritenere i tre punti distribuiti uniformemente sulla circonferenza unitaria; due di essi saranno agli estremi di una corda intercettata da un angolo $t$, in tal caso il terzo punto determina un triangolo ottusangolo quando si trovi nella parte di semicirconferenza determinata da angolo minore o uguale di $\pi - t$. Tenuto conto delle simmetrie si trova P = $\frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \frac{\pi - t}{\pi} \, dt = 3/4$. Senza calcoli si perviene allo stesso risultato nel modo seguente. Siano $\alpha$ e $\beta$ due degli angoli del triangolo: $0 \leq \alpha \,,\, \beta \leq \pi \,;\, \alpha + \beta \leq \pi$ ; si consideri poi nel piano cartesiano la densità uniforme sul triangolo di vertici $(0,0), (\pi,0), (0,\pi)$.

Esempio 3. Densità uniforme sul cerchio. Nel cerchio $C_R$ con centro nell'origine e raggio $R$ sia data la densità uniforme $f(x,y) = \frac{1}{\pi R^2}$ se $(x,y) \in C_R$ e 0 altrimenti. Vogliamo calcolare le densità marginali $f_X , f_Y$. Sappiamo che $f_X(u) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(u,v)\,dv \;.$ Nel nostro caso: se $\vert u\vert > R\,,\; f_X(u) = 0$; se $\vert u\vert \leq R$ si ha $f_X(u) = \frac{1}{\pi R^2} \int _{{\scriptscriptstyle -\sqrt{R^2-u^2}}}^{{\scriptscriptstyle \sqrt{R^2-u^2}}} dv = \frac{2\sqrt{R^2-u^2}}{\pi R^2}$. Analogo risultato si avrà per $f_Y$. Si osservi che le var.al. $X$ e $Y$ non sono indipendenti. Infatti se $Q_R$ è il quadrato di lato $2R$ centrato nell'origine, allora se

$$(x, y) \in Q_R \setminus C_R : \; f(x, y) = 0 \;\;{\rm mentre}\;\; f_X(x) f_Y(y) > 0 \,.$$

Come nel caso discreto vale il seguente risultato:
Se $X_i$ sono vettori al. indipendenti e $h_i$ funzioni a valori reali ``ragionevoli'', allora anche $h_i(X_i)$ sono indipendenti.