Densità congiunte

Considereremo, per semplicità solo vettori aleatori bidimensionali. Sia $Z = (X,Y)$ un tale vettore; la f.r. $F_Z$ congiunta di $Z$ è definita da:

$$F_Z(x,y) = p\{X \leq x\ \;,\;Y \leq y \} = p\{Z \in A_{x,y}\} ,$$

dove $A_{x,y} = \{(u,v): u \leq x \; , v \leq y \; \}$.
Diremo che $Z$ ha densità congiunta $f_Z = f$ se $f \geq 0 \;, \int_{R^2}f(u,v)\,du dv = 1$, (cioè $f$ è una densità) e inoltre

$$F_Z(x,y) = \int_{-\infty}^x du \int_{-\infty}^y f(u,v) dv = \int_{A_{x,y}}f(u,v)\,du dv \;.$$

Per sottoinsiemi ``ragionevoli" $A$ di ${\bf R}^2$ avremo in generale la formula

$$p\{Z \in A\} = \int_A f(u,v)\,du dv \;.$$

Conoscendo f.r. e densità congiunte di un vettore al. $Z = (X,Y)$, calcoliamone f.r. e densità marginali. Si osservi che

$$\{X \leq x\} = \bigcup_{n=1}^\infty \{X \leq x\ \;,\;Y \leq n \}\; ,$$

per cui

$$F_X(x) = \lim_{y \rightarrow \infty}F_Z(x,y)$$

e, allo stesso modo

$$F_Y(y) = \lim_{x \rightarrow \infty}F_Z(x,y) \; .$$

Per calcolare le densità marginali osserviamo che, detta $A$ la striscia $A = \{(u,v): a \leq u \leq b \;, v \in R \; \}$, si ha

$$p \{ a \leq X \leq b \} = \int_A f(u,v)\,du dv = \int_a^b du \int_{-\infty}^{+\infty} f(u,v)\,dv \;.$$

Posto

$$f_X(u) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(u,v)\,dv \;,$$

otteniamo $p \{ a \leq X \leq b \} = \int_a^b f_X(u) du$. Questo mostra che $f_X(u)$ è una densità per $X$. Analogamente si vede che è una densità per $Y$ :

$$f_Y(v) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(u,v)\,du \;.$$