Esempi

1. Densità esponenziale. Per ogni $\lambda > 0$ si definisce una f.r. ponendo

$$F(t) = 1 - {\rm e}^{-\lambda t}\;\; {\rm se}\;\;t > 0\;,\;F(t) = 0\;\; {\rm altrimenti}.$$

$F$ è a.c. ; derivando si ottiene la sua densità

$$f(t) = \lambda {\rm e}^{-\lambda t}\;\; {\rm se}\;\;t > 0\;,\;f(t) = 0\;\; {\rm altrimenti}.$$

2. Densità uniforme. Definiamo una f.r. ponendo

$$F(t) = 0 \;\; {\rm se}\;\;t < 0\;,\;F(t) = t\;\; {\rm se}\;\; 0 \leq t \leq 1\;;\; F(t) = 1 \;\; {\rm se}\;\;t > 1 .$$

$F$ è a.c. ; derivando si ottiene la sua densità

$$f(t) = 0 \;\; {\rm se} \;\;t < 0\;,\;f(t) = 1\;\; {\rm se}\;\; 0 \leq t \leq 1\;;\; f(t) = 0 \;\; {\rm se}\;\;t > 1 .$$

Se $X$ è una var.al. con questa densità uniforme e se $A \subset [0,1]$ è misurabile, allora $p \{ X \in A \} = \int_A 1\,dx$, la misura di Lebesgue di $A$.
3. Densità normale. La f.r. (distribuzione) normale $\Phi$, che abbiamo intodotto nel capitolo 3, è definita da:

$$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x {\rm e}^{-\frac{y^2}{2}} dy$$

e la sua densità è

$$f(x) = \Phi'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}{\rm e}^{-\frac{x^2}{2}} \,.$$

La f.r. del primo esempio non è derivabile nell'origine, quella del secondo non lo è nell'origine e nel punto 1.