Prime definizioni

Definizione 4.1.1. Una $F: {\bf R} \rightarrow {\bf R}$ è detta funzione di ripartizione (f.r.) se gode delle seguenti proprietà:
1) $F$ è non decrescente e continua a destra;
2) $\lim_{t\rightarrow -\infty} F(t) = 0; \; \lim_{t\rightarrow +\infty} F(t) = 1.$
Ricordiamo che per una var.al. $X$ abbiamo già definito la sua funzione di ripartizione ponendo: $F_X(t) = p\{X \leq t \}$. Le definizioni sono consistenti: infatti $F_X$ verifica le proprietà 1) e 2). Proviamo la 1). E' ovvio che $F_X$ sia non decrescente. Sia $\{t_n\}$ una successione che tende a $x$ decrescendo, dobbiamo mostrare che $F_X(t_n) \rightarrow F_X(x)$. Sia $A = \bigcap_{k=1}^\infty \{X \leq t_n \}$, avendosi una successione decrescente di eventi, per il Teorema 1.1.2 $F_X(t_n) \rightarrow p(A)$. Resta da provare che $A =\{X \leq x \}$. E' ovvio che $\{X \leq x \} \subset A$; se $y \in A$, allora $X(y) \leq t_n$ per ogni $n$ e pertanto anche $X(y) \leq x$, cioè $A \subset \{X \leq x \}$ . In modo simile si prova la 2).
Ogni f.r. $F$, come si vede subito, soddisfa pure:
3) $0 \leq F(t) \leq 1$;
4) $p\{a < X \leq b\} = p\{ X \leq b\} - p\{ X \leq a\} = F(b) - F(a)$.
Come ogni funzione monotona la $F$ ammette in ogni punto $x$ anche il limite sinistro che si denoterà con $F(x^-)$. Avremo dunque sempre

$$F(x^-) \leq F(x) = F(x^+);$$

al solito modo si verifica poi che

$$F(x) - F(x^-) = p\{X = x\};$$

in particolare $p\{X = x\} = 0$ se $F$ è continua in $x$.
E' importante sottolineare il fatto che le proprietà 1) e 2) caratterizzano le f.r.

Definizione 4.1.2. Una $f: {\bf R} \rightarrow {\bf R}$ è una densità se è misurabile (secondo Lebesgue) e

$$f \geq 0\, ; \;\; \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = 1 .$$

Conviene osservare subito che se ${\cal L}$ è la $\sigma$-algebra dei sottoinsiemi di ${\bf R}$ misurabili secondo Lebesgue, avendo a disposizione una densità $f$, si ottiene uno spazio di probabilità $({\bf R},{\cal L}, p )$ ponendo, per $A \in {\cal L}, \; p(A) = \int_A f \,.$
Sempre essendo $f$ una densità, se poniamo

$$G(t) = \int_{-\infty}^t f(x)\,dx \,,$$

$G$ risulta una f.r. con la proprietà ulteriore di essere assolutamente continua (vedi appendice), inoltre $G'(t) = f(t)$ quasi ovunque (q.o.) cioè tranne al più un insieme di misura (di Lebesgue) nulla.
L'assoluta continuità è una proprietà più forte della continuità. In generale se $H$ è una funzione assolutamente continua (a.c.) $H$ è (derivabile q.o. ed è) primitiva della sua derivata, cioè

$$H(t) = H(a) + \int_{a}^t H'(x)\,dx \,.$$

Se $F$ è una f.r. e $f$ una densità, diremo che $F$ ammette $f$ come densità se $F(t) = \int_{-\infty}^t f(x)\,dx \,.$ Se una f.r. $G$ è a.c. allora ammette come densità la sua derivata $G'$. Esistono tuttavia f.r. $F$ continue che non ammettono densità.(Questo nonostante che ogni f.r., essendo monotona, sia derivabile q.o.).

Definizione 4.1.3. Diremo che una var.al. $X$ è a.c. se la sua f.r. $F_X$ ammette densità (ed è quindi a.c.).
Sia $X$ a.c. con f.r. $F$ e densità $f$, allora si ha $p \{a \leq X \leq b\} = F(b) - F(a).$ Più in generale se $A$ e misurabile in ${\bf R}$ si ha

$$p \{ X \in A \} = \int_A f(x) dx .$$