Funzioni generatrici

Sia $X$ una var.al. che prende valori interi positivi, per ogni $z \in {\bf R}$ poniamo

$$\psi_X(z) = E[z^X] .$$

Definizione 2.8.1. La funzione $\psi_X$ si chiama funzione generatrice delle probabilità.

Se $f$ è la densità di $X$, per il Teorema 2.5.1, si ha

$$\psi_X(z) = \sum_{n=0}^\infty z^nf(n) .$$

Questa serie di potenze ha raggio di convergenza $R \geq 1$ (perchè $\sum f(n) = 1$), $R$ può anche essere +$\infty$, come nel caso che $X$ prenda solo un insieme finito di valori e $\psi_X$ si riduce a un polinomio.
Si vede facilmente che due var.al. a valori interi positivi hanno la stessa densità se e solo se hanno la stessa funzione generatrice. Se la funzione generatrice di $X$ è data in forma esplicita (non come serie), la densità di $X$ si calcola con derivazioni successive nell'origine. Diamo subito alcuni esempi
Binomiale. Sia $X$ una var.al. $B(n,p)$, si ha

$$\psi_X(z) = \sum_{k=0}^n z^k {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} = (1- p + p z)^n$$

Poisson . Sia $X$ una var.al. che segue la legge di Poisson di parametro $\lambda$, si ha

$$\psi_X(z) = {\rm e}^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty z^k \frac{\lambda^k}{k!} = {\rm e}^{\lambda (z-1)}$$

Risulta molto utile il
Teorema 2.8.1. Siano $X$ e $Y$ var.al. indipendenti. Allora

$$\psi_{X+Y} = \psi_X \psi_Y .$$

Dimostrazione. Per il Teorema 2.3.1 anche $z^X, z^Y$ sono var.al. indipendenti, pertanto si ha

$$\psi_{X+Y}(z) = E[z^{X+Y}] = E[z^X] E[z^Y] = \psi_X(z) \psi_Y(z).$$

Questo teorema può essere usato per calcolare la densità della somma di due var.al. come si vede nel seguente esempio.
Somma di geometriche. Siano $X$ e $Y$ due var.al. indipendenti di densità geometrica $\{ p q^k \} (q = 1-p)$. La loro funzione generatrice vale

$$\psi(z) = \sum_{k=0}^\infty p q^k z^k = \frac{p}{1-qz}\,.$$

Se $Q = X +Y$ si ha $\psi_{Q} = \psi_X \psi_Y$ ossia $\psi_{Q}(z) = \frac{p^2}{(1-qz)^2},$ con facili calcoli si ha poi

$$\frac{p^2}{(1-qz)^2} = p^2 ( 1 + 2 q z + 3 q^2 z^2 +..)$$

e quindi per la densità di $Q$ si ottiene

$$f_Q(k) = p^2 (k+1) q^k \,.$$

Mostriamo anche il
Teorema 2.8.2. Se la serie che definisce la funzione generatrice $\psi_X$ ha raggio di convergenza $R > 1$, allora la var.al. $X$ ha momenti di ogni ordine; in particolare

$$E[X] = \psi_X'(1); \;\; {\rm Var}(X) = \psi_X''(1) + \psi_X'(1) - \psi_X'(1)^2 .$$

Dimostrazione. Derivando $\psi_X$ e valutando in 1 si ottiene

$$\psi_X'(1) = \sum_{k=1}^\infty kf(k) = E[X];$$

derivando una seconda volta e valutando in 1 si ottiene

$$\psi_X''(1) = \sum_{k=1}^\infty (k^2-k)f(k) = E[X^2]-E[X]$$

da cui segue subito la formula per la varianza. Allo stesso modo (con derivate successive) si possono determinare i momenti di ordine maggiore.