22-24/10/01. Par. 3.1-4, 5.1-4 , Valori estremi, Teorema di Lagrange e applicazioni

27. Lun. 22 Ott.
Lezione tenuta dalla Dott. Poggiolini: derivata destra e sinistra e punti angolosi. Esercizi sulle derivate di funzioni definite a tratti
28. Lun. 22 Ott.
Lezione tenuta dalla Dott. Poggiolini: esercizi sulle derivate e la ricerca di rette tangenti.
29. Mar. 23 Ott.
Punti singolari (dove non esiste derivata), critici (dove la derivata e' nulla). Punti interni ed estremi del dominio. Teorema di Fermat (teorema 2, pg. 157 del testo) con dimostrazione. Ricerca di massimi e minimi di funzioni. Massimi e minimi locali o relativi.
30. Mar. 23 Ott.
Il teorema del valor medio o di Lagrange e sua interpretazione geometrica e in termini di stima dell'errore. Esempi: $0\leq \vert\cos(x)-\cos(0)\vert=1-\cos(x)\leq \vert x\vert/2,$ se $\vert x\vert<\pi/6$ e inoltre esistono $x_0,y_0$ con $\vert y_0\vert\leq \vert x_0\vert\leq \vert x\vert$ tali che

$$0\leq \vert\cos(x)-\cos(0)\vert=1-\cos(x)= \vert\sin (x_0)x\vert=\vert\cos(y_0)x_0x\vert\leq x^2.$$

Riflettere sul fatto che che la seconda disuglianza da' una stima dell'errore migliore della prima se $\vert x\vert<1/2,$ tenere conto che $\pi/6\approx 0.52.$ In seguito vedremo che la stima puo' essere ancora migliorata.
Esercizio. Verificare che la funzione $\sin(x)/x$ estesa per continuita' a 0 ha derivata 0 in $x=0.$ Suggerimento. Scrivere il rapporto incrementale in 0, poi applicare il teorema di Lagrange a $(\sin(x)-x)$ e quindi a $(\cos(x_0)-1),$ infine passare al limite tenendo conto che $\vert x_0x\vert\leq \vert x\vert^2$
31. Mer. 24 Ott.
Teorema di Rolle e relazione fra gli zeri di $f$ e $f'.$ Funzioni con derivata nulla. Primitive (antiderivate, Par.2.9) di una funzione continua su un intervallo ed applicazione allo studio del problema della caduta dei gravi (Par.3.1): equazioni differenziali, condizioni iniziali, soluzione.

Attenzione: nel testo una primitiva e' chiamata un'antiderivata

Caduta dei gravi. In un qualsiasi riferimento cartesiano con asse $z$ coincidente con la verticale ascendente, se si trascura la resistenza dell'aria, le equazioni differenziali sono

$$\ddot x=0,\ \ddot y=0,\ \ddot z=-g.$$

Scegliendo opportunamente il sistema cartesiano, si puo' sempre ipotizzare che al tempo 0 il grave si trovi nel punto $P_0=(0,0,z_0),\ z_0\geq 0,$ ed abbia velocita' $\vec v_0 = (a,0,b),\ a\geq 0,$ dove $a\, \vec \imath$ e' la velocita' orizzontale e $b\,\vec k$ e' la velocita' verticale. Si ottengono le condizioni iniziali

$$x(0)=0,\ y(0)=0,\ z(0)=z_0,\ \dot x(0)=a,\ \dot y(0)=0,\ \dot z(0)=b.$$

Il teorema di Lagrange ci permette di determinare l'equazione di moto del grave

$$x(t)=a\,t,\ y(t)=0,\ z(t)=z_0+b\,t -g\,\frac{t^2}{2}.$$

Si noti che il moto e' verticale se e solo se $a=0$ e che se $a\neq 0$ la traiettoria e' una parabola nel piano verticale che contiene $\vec v_0.$ Le equazioni della parabola sono

$$z=z_0 +\frac{b}{a}\, x-\frac{g}{2}\frac{x^2}{a^2}$$

Esercizio. Si determini l'equazione della traiettoria $z=f(x)$ in funzione del modulo (intensita') di $\vec v_0,$ e dell'angolo (orientato) che la velocita' iniziale forma con il piano orizzontale. Si disegnino i possibili grafici della traiettoria, considerando che il piano terra abbia quota $z=0.$ Che significato ha l'approssimazione lineare della traiettoria in $x=0?$
32. Mer. 24 Ott.
Funzioni crescenti e decrescenti su intervalli. Funzioni convesse e concave su intervalli.

Attenzione : sul testo le funzioni convesse vengono chiamate con la concavita' verso l'alto e le funzioni concave con la concavita' verso il basso

33. Mer. 24 Ott.
Correzione e commenti sul test.