8-10/10/01. Par. 1.4, Continuita'

13. Lun. 8 Ott.
Lezione tenuta dalla Dott. Poggiolini: esercizi.
14. Lun. 8 Ott.
Lezione tenuta dalla Dott. Poggiolini: esercizi.
15. Mar. 9 Ott.
Funzioni continue in un punto e in un intervallo. Teorema di permanenza del segno per le funzioni continue. Esempi di funzioni continue: i polinomi e le funzioni elementari. Costruzione di funzioni continue: somma, prodotto, quoziente, composizione. Estensioni continue e discontinuita' rimovibili. Esempi:

$$\frac{x^2-1}{x-1}\ ,\ \frac{\sin(x)}{x}$$

Funzioni continue a destra e a sinistra. Continuita' di funzioni definite a tratti. Definizione di massimo di una funzione nel suo dominio e su un intervallo.
16. Mar. 9 Ott.
Proprieta' delle funzioni continue sugli intervalli (senza dimostrazione): i teoremi di Weierstrass (esistenza di massimi e minimi) e dei valori intermedi (radici di equazioni). Estremi superiore e inferiore di una funzione nel suo dominio e in un intervallo. Ricerca di soluzioni di equazioni (algoritmo di bisezione) e di immagini di funzioni.
17. Mer. 10 Ott.
Applicazioni delle proprieta' delle funzioni continue:

• segno di un polinomio e di una funzione razionale, es:
  $$x^3-x^2-x\ ,\ (x-1)/(x^2-4).$$

• esempi di ricerca grafica di massimi e minimi: cosa si puo' dire dei seguenti problemi con la teoria fin qui svolta? Massima (minima) area dato il perimetro $p$ di un rettangolo non degenere
  $$A=x(p/2-x)=-(x-p/4)^2+p^2/16 .$$
  Minimo (massimo) perimetro data l'area $A$ di un rettangolo
  $$p=2(x+A/x)$$

18. Mer.10 Ott.
Lezioni al computer su limiti, funzioni continue, esistenza di massimi e minimi.
19. Mer. 10 Ott.
Incrementi e distanze nel piano. Vettori. Rapporto incrementale di una funzione in un punto e suo significato geometrico. Riflettere sulla seguente affermazione: una funzione e' continua se e solo se $\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{ \Delta y}{\Delta y}$ e' una forma indeterminata. Definizione di derivata in un punto.