Registro delle lezioni di Fiammetta Battaglia per il corso di Sistemi dinamici non lineari, A.A. 2011/12.

  1. 13 ottobre 2011 (ore 2)
    Esempi tratti dal libro: Steven Strogatz, Non linear dynamics and chaos.
    Esempi di flussi sulla retta:
    x'=r+x2: ritratto di fase e diagramma di biforcazione (esempio di biforcazione "saddle-node");
    laser (sect.3.3, pag 53): modello, ritratto di fase, diagramma di biforcazione (esempio di biforcazione transcritica);
    dinamica della popolazione dell'insetto "spruce budworm" (sect. 3.7, pag 73), modello, equazione adimensionale, ritratto di fase, curve di biforcazione, diagramma di biforcazione. Cenni ai fenomeni di catatrofe e hysteresis.
  2. 26.10.2011 (2 ore)
    Esempi tratti dal libro: Steven Strogatz, Non linear dynamics and chaos.
    Pendolo forzato e smorzato. Equazione adimensionale . Ritratto di fase per diversi valori del parametro. Biforcazione. Giunzione di Josephson, effetto Josephson: cenni. Equazione adimensionale finale analoga a quella del pendolo forzato e smorzato.
    Sistemi piani lineari. Dinamica delle storie d'amore, tre esempi che danno:
    a) punto di equilibrio "neutro" (ne' attrattore, ne' repulsore, inoltre Liapunov stabile)
    b) nodo stabile
    c) punto sella
    Sistemi piani non lineari: esempio di dinamica delle popolazioni con due popolazioni (conigli e pecore) in competizione per le stesse risorse. Punti fissi.
    Si continua la prossima volta, giovedi' 3 novembre, con lo studio dei punti fissi e il ritratto di fase completo.
  3. 3 novembre 2011 (2 ore)
    Esempi tratti dal libro: Steven Strogatz, Non linear dynamics and chaos.
    Studio dei punti fissi e ritratto di fase dell'esempio iniziato durante la lezione precedente. Si notano nel ritratto di fase la varieta' stabile del punto sella, costituita da due traiettorie, a loro volta separatrici dei bacini di attrazione dei due punti di equilibrio stabili.
    Modello per il processo metabolico della glicolisi, sistema piano non lineare dipendente da due parametri: studio del sistema, applicazione del teorema di Poincaré-Bendixson. Presenza di un ciclo limite per le coppie di parametri per le quali l'unico punto di equilibrio del sistema e' repulsore.
  4. 22 novembre 2011 (2 ore)
    Riferimenti bibliografici: Steven Strogatz: Non linear dynamics and chaos e K. Alligood, T. Sauer, J. Yorke: Chaos, an introduction to dynamical systems.
    Cos'e' una mappa. Perche' le mappe?
    Definizione di mappa, orbita di una mappa e punto fisso di una mappa. Studio delle orbite e della stabilita' degli equilibri delle mappe unidimensionali mediante il cobweb. Esempi. Definizioni (in dimensione qualunque) di punto di equilibrio attrattore e punto di equilibrio repulsore.
    Teorema: Sia f da R in R una mappa liscia e sia x* un punto fisso di f.
    a) se |f'( x*)|<1 allora x* e' un attrattore
    Inoltre se 0*)<1 le orbite tendono a x* monotonicamente. Se invece -1*)<0 le orbite tendono a x* con andamento oscillatorio (oscillazioni smorzate).
    b) se |f'( x*)|>1 allora x* e' un repulsore.
    Dimostrazione.
  5. 24 novembre 2011 (2 ore)
    Binary shift map f:[0,1]-->[0,1], f(x)=2x(mod1). Ha due punti fissi. Ci sono infinite orbite periodiche. In particolare i razionali, densi in [0,1], danno luogo a orbite che sono, eventualmente dopo un transiente, periodiche.
    Definizione di punto periodico di periodo k per una mappa f. Definizione di orbita periodica di periodo k. Sia f una mappa e x0 un punto di periodo k. L'orbita periodica di x0 e' un attrattore periodico se x0 (punto fisso di fk) e' un attrattore. L'orbita periodica di x0 e' un repulsore periodico se x0 (punto fisso di fk) e' un repulsore. Sia xj=fj(x0). Se |f'(x(k-1))f'(x(k-2)...f'(x0)|<1 allora l'orbita di x0 e' un attrattore periodico. Se |f'(x(k-1))f'(x(k-2))...f'(x0)|>1 allora l'orbita di x0 e' un repulsore periodico.
    Tornando alla binary shift map vediamo con un esempio che c'e' dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali.
    Esponente di Liapunov come misura della dipendenza dalle condizioni iniziali. Sia x0 un valore iniziale. L'esponente di Liapunov dell'orbita con valore inziale x0 e' il limite (quando esiste), per n naturale che tende a infinito, di 1/n(ln|f'(x0)|+ln|f'(x1)|...+ln|f'(xn-1)|). Se e' positivo l'orbita e' caotica. Le orbite dello stesso bacino di attrazione hanno lo stesso esponente di Liapunov. Se e' negativo siamo nel bacino di attrazione di un punto o un orbita periodica stabile.
    Esponente di Liapunov per la binary shift map e' ln(2)>0.
    La binary shift map ha un orbita densa in [0,1]. L'intervallo [0,1] e' un attrattore caotico per la shift map.
    Definizione di insieme limite di un orbita (infatti di "forward limit set"). L'orbita con valore iniziale x1 e' attratta dall'insieme limite dell'orbita con valore iniziale x0 se l'insieme limite dell'orbita di x1 e' contenuto in quello di x0. Un attrattore caotico e' l'insieme limite di un orbita caotica, che la contiene, e che attrae un insieme di valori iniziali di misura (cioe' lunghezza, area, volume, per dimensione rispettivamente 1,2,3) non zero.
    Definizione della mappa tenda (con valore del parametro 0 < r ≤ 2). Definizione della mappa logistica (con valore del parametro 0< r ≤ 4), entrambe da [0,1] a [0,1]. Esponente di Liapunov della mappa tenda. Breve illustrazione della dinamica delle due mappe al variare del parametro r. In particolare, per la mappa logistica, diagramma delle orbite e esponente di Liapunov come funzione di r. Insorgenza del regime caotico, finestre periodiche, attrattori. Orbite: orbita per r=3.3, orbita per r=3.5, orbita per r=3.7.
    Programma tex di Franco Bagnoli con cui sono stati creati i file qui sopra.
    Diagramma delle orbite della mappa logistica.
    Esponente di Liapunov della mappa logistica in funzione del parametro r
    Diagramma delle orbite della mappa tenda.
    In breve due esempi di mappe in dimensione 2. Mappa dissipativa a ferro di cavallo (pastry map). L'azione della mappa sul rettangolo iniziale e' quella di contrarre, allungare, ripiegare a ferro di cavallo. La contrazione riduce l'area (dissipativa), l'allungamento e' responsabile della dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali, il ripiegare garantisce che la mappa sia limitata. Idea solo intuitiva dell'attrattore caotico. Mappa del fornaio dissipativa (skinny baker's map): su S quadrato chiuso di lato 1 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, si definisce, per 0 < a < 1/2, la mappa B che agisce nel modo seguente:
    (xn+1,yn+1)=(2xn,ayn) se 0 ≤ x < 1/2
    (xn+1,yn+1)=(2xn-1,ayn+1/2) se 1/2 ≤ x ≤ 1.
    Notare che sulle x e' la shift map. L'attrattore e' l'insieme (non vuoto), A, dato dall'intersezione, su tutti i naturali, degli insiemi Bn(S).

    Per creare animazioni: un esempio

  6. 01.12.2011 (ore 2)
    Lezione tenuta da Stefano Ruffo (voce da completare)
  7. 13.12.2011 (ore 2) Biforcazioni picthfork. Sistema della pallina che si muove su un cerchio rigido, rotante in un fluido altamente viscoso.
  8. 16.12.2011 (ore 2) Biforcazioni di Hopf. Esempio di un oscillatore chimico (biforcazione di Hopf supercritica).