Calcolo della soluzione

Per il calcolo della soluzione possiamo ovviamente fare solo un numero finito di passi, ma questo numero puó essere scelto in dipendenza dell'approssimazione voluta. Infatti ogni punto di I_n dista da x₀meno della lunghezza dell'intervallo stesso, quindi se vogliamo calcolare la soluzione con un'approssimazione $\varepsilon>0,$ basterá fermarsi dopo aver determinato un intervallo di lunghezza minore di $\epsilon .$Poiché la lunghezza dell'intervallo I_n é (b-a)/2ⁿ,basterá fissare n in maniera tale che $(b-a)/2^n<\varepsilon,$cioé

$$n>\log_2\frac{b-a}{\varepsilon}$$

e scegliere come soluzione b_n (approssimazione per eccesso) oppure a_n (approssimazione per difetto). Se scegliamo come soluzione m_n=(a_n+b_n)/2, non sappiamo se sia per eccesso o per difetto, ma la sua distanza da ogni punto dell'intervallo é sicuramente minore di $\varepsilon/2$ e quindi m_né un'approssimazione migliore delle precedenti.

Queste considerazioni suggeriscono il seguente schema per un programma di calcolo.
 
Schema per il calcolo di una soluzione approssimata x₀ dell'equazione f(x)=0 nell'intervallo [a,b] in cui f è continua e $f(a)>0,\ f(b)<0.$
 
Nel programma dovremo immettere dei dati, che verifichino le ipotesi del teorema,
Input:

$$\begin{array}{ll} f&\quad\text{funzione}\\ a&\quad\text{primo... ...o}\\ \varepsilon&\quad\text{approssimazione voluta} \end{array}$$

per ottenere un risultato,
Output:

$$\begin{array}{ll} x_0&\quad\text{ soluzione approssimata} \end{array}$$

Si noti che non e' noto se la soluzione trovata e' per difetto o per eccesso. Lo studente determini uno schema per calcolare con approssimazione per difetto (eccesso) $\epsilon$ la soluzione.
 
Lo schema è essenzialmente basato sulla procedura di iterazione descritta precedentemente e può essere così descritto
Inizio

$$\begin{array}{lllll} \text{ Se} & b-a<2\,\varepsilon &\text{p... ...:=(a+b)/2 &\text{ e \textcolor{red}{ Stampa $x_0$}} \end{array}$$

Altrimenti

$$\begin{array}{llll} \text{se} &f((a+b)/2)=0 &\text{poni} &x_0... ...a+b)/2\quad \text{e vai a \textcolor{red}{ Inizio}} \end{array}$$

Il programma si fermerà necessariamente dopo un numero finito di passi, quando la metà della lunghezza dell'intervallo risulterà minore dell'errore prescelto.