Teorema degli zeri

Teorema 1.1   Sia $f:[a,b]\rightarrow \R$ continua e sia f(a)f(b)<0, allora esiste $x_0\in (a,b)$ tale che f(x₀)=0.

Per fissare le idee faremo la dimostrazione nel caso

$$f(a)>0,\ f(b)<0,$$

lo studente ripeta la dimostrazione nel caso $f(a)<0,\ f(b)>0.$
 
La dimostrazione si propone di "costruire " la soluzione come l'unico punto comune a una successione di intervalli contenuti uno nell'altro. Il procedimento é basato sulla seguente procedura di iterazione, detta algoritmo di bisezione, che permette di costruire, a partire da un intervallo che soddisfi le ipotesi del teorema, un sottointervallo di lunghezza metá che soddisfa ancora alle ipotesi del teorema.
Iterazione. Sia $I=[\alpha,\beta]$ un intervallo che soddisfa alle ipotesi del teorema e sia $m=(\alpha+\beta)/2$ il suo punto medio, scegliamo un nuovo intervallo J in base al valore di f(m)

$$\begin{array}{lll} \text{se} &f(m)=0 &\text{abbiamo trovato l... ...ext{se} &f(m)<0 &\text{si pone} \quad J=[\alpha,m]. \end{array}$$

La procedura di iterazione ci permette di generare una successione decrescente di intervalli nel modo seguente.

• Partiamo dall'intervallo I=I₀=[a,b] e generiamo un nuovo intervallo I₁=[a₁,b₁] secondo la procedura di iterazione.
• Se non abbiamo trovato la soluzione, ripetiamo la procedura per trovare I₂=[a₂, b₂] a partire da I₁.
• Procedendo in maniera analoga, se l'algoritmo non si arresta, costruiamo una successione decrescente di intervalli

$$I_1\supset I_2\supset\cdots I_n\supset\cdots$$

di lunghezza data da

 

|b_n-a_n|=|b-a|/2ⁿ. (1)

La successione $\{a_n\}$ e' crescente e superiormente limitata (ogni b_ne' una limitazione superiore), analogamente la successione $\{b_n\}$ e' decrescente e inferiormente limitata. Posto

$$x_0=\sup\{a_n,n\in\N\},\ \ x_1=\inf\{a_n,n\in\N\}$$

otteniamo che $a_n\rightarrow x_0 ,\ b_n\rightarrow x_1,$ ma $(b_n-a_n)=(b-a)/2^n \rightarrow 0$ e quindi dalle proprietá dei limiti segue che

x₀ =x₁.

Individuato x₀ come candidato, dobbiamo dimostrare che é effettivamente una soluzione dell'equazione. In questo interviene in maniera essenziale l'ipotesi di continuitá di f attraverso il teorema della permanenza del segno. Infatti, per la procedura che abbiamo seguito, in ogni delta-intorno di x₀ ci sono sia punti a_n su cui la funzione é positiva, sia punti b_n su cui la funzione é negativa, quindi l'unica possibilitá di non contraddire il teorema della permanenza del segno é che sia

f(x₀)=0.