Quarta settimana

33. Lun. 30 Ott.
Lezione tenuta dal Dott. Mugelli: Esercizi su convergenza di serie e funzioni.
34. Lun. 30 Ott.
Lezione tenuta dal Dott. Mugelli: Esercizi domini di funzioni.
35. Lun. 30 Ott.
Lezione tenuta dal Dott. Mugelli: Esercizi su differenziabilita', derivate parziali e piano tangente al grafico.
36. Mar. 31 Ott.
Per semplicita' tutte le funzioni saranno $C^1$ in un intorno dei punti considerati. Possibili notazioni

$$JF=J_F=DF,$$

con $DF$ si identificano la matrice Jacobiana e l'applicazione lineare associata.
La matrice Jacobiana nel caso di curve e funzioni a valori in $\R.$ Derivate parziali e matrice Jacobiana della composizione, idea della dimostrazione

$$G(F(x+h))=G(F(x)+J_F(x)h+o(\vert\vert h\vert\vert))=$$

$$=G(F(x))+J_G(F(x))(J_F(x)h+o(\vert\vert h\vert\vert))+ o(\vert\vert J_F(x)h+o(\vert\vert h\vert\vert) \vert\vert)=$$

$$=G(F(x))+J_G(F(x))J_F(x)h+o(\vert\vert h\vert\vert).$$

Esempio: $g(x,y)=x^2+y^2\ ,\ F:=\{x=\rho \cos\phi\ ,\ y=\rho \sin\phi\}\ ,\ \gamma (\rho ,\phi) =g\circ F(\rho ,\phi) =\rho^2.$

$$\partial_\rho \gamma (\rho ,\phi) = \partial_x g(\gamma(\rho ... ...artial_\rho y(\rho ,\phi) = 2\rho \cos^2\phi +2\rho \sin^2\phi$$

$$\partial_\phi \gamma (\rho ,\phi) = \partial_x g(\gamma(\rho ... ...+ \partial_y g(\gamma(\rho ,\phi))\partial_\phi y(\rho ,\phi)=$$

$$= -2\rho^2 \cos\phi\sin\phi +2\rho^2 \sin^2\phi\cos\phi =0$$

Composizione con le curve e derivate direzionali, il simbolo $\frac{\partial F}{\partial x_i} =\partial _i F$. Curve coordinate per le coordinate polari nel piano e curve e superfici coordinate le coordinate cilindriche (per esercizio).
37. Mar. 31 Ott.
Esercizio proposto: calcolare in piu' maniere il vettore tangente a $F\circ\gamma$ nel punto $\gamma(1)=(1,2,3),$ se

$$\gamma :=\ \{x= t,\ y=t^2,\ z=3 \}\ ,\ F(x,y,z)=(x^2z, \cos xy, e^z)\$$

Coordinate polari nello spazio, formule, curve e superfici coordinate, matrice Jacobiana

$$z=r\cos\theta\ ,\ x=r\sin\theta\cos\phi\ ,\ y=r\sin\theta\sin\phi\ ,\ r\geq 0 0\leq\theta <\pi\ ,\ -\pi <\phi\leq\pi$$

38. Gio. 2 Nov.
Funzione inversa e differenziabilita'

$$DF^{-1}(F(x))=[DF(x)]^{-1}$$

Cambiamento di coordinate inverso per le coordinate polari nel piano e nello spazio.

39. Gio. 2 Nov.
Curve regolari cioe' $C^1,\ \vert\vert\dot\gamma (t)\vert\vert\neq 0 .$ Esempio:

$$\gamma (t)=(t^3,t^2),\ \mu (t)=(-t(t+1)^2,t^2(t+1))$$

$$\dot \mu (t)= (-(t+1)(3t+1),t(3t+2))$$

la prima non e' regolare in $t=0$ la seconda e' regolare, localmente invertibile ma non invertibile (ha un "nodo" nell'origine). Retta tangente ad una curva regolare (Bacciotti-Ricci cap.III n.1) Cenni sulle superfici regolari $\sigma : A\subseteq \R^2 \rightarrow \R^3,$ cioe' $C^1$ e con rango della matrice Jacobiana uguale a 2, condizioni geometriche equivalenti. Piano tangente ad una superficie regolare. Esempi: le superfici coordinate delle coordinate polari. (Bacciotti-Ricci capIII n.5 escluso il cambiamento di coordinate e seguenti).
40. Ven. 3 Nov.
Derivate di ordine superiore, teorema di Schwartz (senza dimostrazione). Matrice Hessiana, esempio: $f(x,y)=x+3y+x^2+xy+x^3\ ,\ \gamma (t)=(x_0,y_0)+tv\ ,\ \phi =f\circ \gamma.$

$$\dot\phi (t)=\nabla f(\gamma(t))\cdot v \ ,\ \ddot\phi (t)=v^*H(\gamma (t))v$$

$$\phi(t)=f((x_0,y_0))+ t\nabla f((x_0,y_0))\cdot v +\frac{1}{2}t^2 v^*H((x_0,y_0))v +o(t^2).$$

41. Ven. 3 Nov.
Formula di Taylor al secondo ordine (senza dimostrazione), analogia con il caso di una variabile. Massimi e minimi locali, punti stazionari (singolari).
42. Ven. 3 Nov.
Condizione necessarie e condizioni sufficienti per minimi e massimi locali.