Terza settimana

23. Lun. 23 Ott.
Lezione tenuta dal Dott. Mugelli: Esercizi su limiti, domini e continuita'.
24. Lun. 23 Ott.
Lezione tenuta dal Dott. Mugelli: Esercizi su limiti, domini e continuita'.
25. Lun. 23 Ott.
Lezione tenuta dal Dott. Mugelli: Esercizi su limiti, domini e continuita'.
26. Mar. 24 Ott.
Estensioni del concetto di derivata. Vettore tangente ad (al supporto di) una curva, es. equazioni parametriche di una circonferenza. Differenziale di una funzione $f:\R^n\mapsto \R$, funzioni lineari. Differenziabilita' e continuita'.
27. Mar. 24 Ott.
Derivate parziali e direzionali e loro interpretazione come derivata di una funzione composta. Condizione sufficiente di differenziabilita': funzioni $C^1$ in un intorno, cioe' derivate parziali continue in un intorno (senza dimostrazione). L'esistenza delle derivate parziali e direzionali non implica la continuita' e quindi la differenziabilita', esempio:

$$\frac{xy}{x^2+y^2}$$

Esercizio proposto: determinare i punti in cui le seguenti funzioni sono continue, differenziabili ed ammettono derivate parziali e direzionali.

$$\frac{y^3}{x^2+y^2}\ ,\ x\in\R^n\mapsto \vert\vert x\vert\vert$$

29. Gio. 26 Ott.
Differenziale e gradiente di una funzione e loro relazione con le derivate direzionali. Derivata della composizione di una funzione con una curva. Piano tangente al grafico di una funzione come grafico della sua approssimazione lineare. Direzione di massima pendenza. Esempio: $\sqrt{4-(x^2/9+y^2/4)}.$
Esercizi proposti:
1) Interpretare il grafico di una funzione di una variabile come sostegno di una curva e discutere la relazione fra il concetto di retta tangente al grafico e vettore tangente alla curva.
2) Calcolare (dopo aver verificato in quali punti e' differenziabile) il gradiente di $x\mapsto \vert\vert x\vert\vert^2\ ,\ x\mapsto \vert\vert x\vert\vert\ ,\ x\in \R^n,$ darne una interpretazione geometrica e verificarne il risultato per $n=1.$
28. Gio. 26 Ott.
Applicazione della derivata della composizione fra curve e funzioni:
1) Energia di una particella in un campo di forze conservative. Se indichiamo con $\gamma :\R\rightarrow \R^3$ il moto di una particella in un campo di forze $F:\R^3\rightarrow \R^3$ dato da $F=\nabla U,$ $U:\R^3\rightarrow \R,$ abbiamo conservazione dell'energia $E=-U+1/2 mv^2$ ($v$ e' la velocita' scalare della particella) , lungo la traiettoria. Abbiamo cioe' $E(\gamma (t))=E(\gamma (0)).$ Per verificarlo basta derivare $E\circ \gamma$, tenendo conto che $F=\nabla U=m\ddot \gamma.$
30. Ven. 27 Ott.
Angolo fra piano tangente al grafico e verticale, retta tangente alle curve di livello. Applicazione della derivata della composizione fra curve e funzioni:
1) Dimostrare che se una funzione ha derivate parziali nulle su un aperto convesso (connesso) allora e' costante. (Usare il teorema di Lagrange)
1a) Es. n. 3.68a di Marcellini-Sbordone: discutere l'identita'

$$\arctan(x) +\arctan(y)=\arctan(\frac{x+y}{1-xy})$$

31. Ven. 27 Ott.
2) Dimostrare che se una funzione e' $C^1$ su un convesso compatto $B$, allora esiste una costante $M$ tale che $\vert f(x)-f(y)\vert\leq M\vert\vert x-y\vert\vert\ ,\ \forall x,y\in B$. (usare il teorema di Lagrange)
32. Ven. 27 Ott.
Funzioni $F:\R^n\mapsto \R^m,$ differenziabilita', matrice Jacobiana, condizione sufficiente di differenziabilita'. Matrice Jacobiana del cambiamento di coordinate polari nel piano. Esercizio proposto: rivedere i prodotti righe per colonne fra matrici e tutte le proprieta' delle matrici.