Prima settimana

1. Lun. 9 Ott.
Generalita' su successioni e serie. Il paradosso di Achille e la tartaruga. Definizione di successione convergente e di Cauchy in spazi normati (spazi vettoriali in cui e' possibile definire una distanza tramite la norma). Relazioni fra successioni convergenti e di Cauchy (senza dimostrazione). Prodetto scalare, norma e distanza in $\R^n.$ Convergenza di successioni in $\R^n$.
2. Lun. 9 Ott.
Successioni di funzioni, lo spazio $B(I)$ delle funzioni limitate sull'intervallo $I$ con la norma dell'estremo superiore. Convergenza puntuale e uniforme e relazioni. Esempi: $sin(x)/n, \ x^n,\$ polinomi di Taylor centrati in $0$ della funzione $\exp(x)$.
3. Lun. 9 Ott.
Teoremi sulle successioni di funzioni (senza dimostrazione): Limite uniforme di funzioni continue, limite e integrale, limite e derivata.
4. Lun. 9 Ott.
Esercizi sulla convergenza puntuale e uniforme: $\frac{n(\exp(-nx)+x)}{n+x}\ ,\ \exp_2 (-nx\ln (1+nx))$
5. Mar. 10 Ott.
Definizione di serie convergente in spazi normati e condizione necessaria per il termine generale. Esempi, serie geometrica. Proprieta' di spazio vettoriale per le serie convergenti. Serie numeriche: definizione di serie divergente e indeterminata o alternante, regole di somma.
6. Mar. 10 Ott.
Serie numeriche a termini positivi: serie armonica e armonica generalizzata, criteri del confronto, confronto asintotico, del rapporto e della radice. Convergenza assoluta. Serie a segni alterni, criterio di Liebiniz.
7. Gio. 12 Ott.
Serie di funzioni, convergenza puntuale assoluta, uniforme e relazioni. Criterio di Weierstass (convergenza totale). Integrazione e derivazione termine a termine.
8. Gio. 12 Ott.
Definizione, es: serie di Taylor e funzioni analitiche. raggio di convergenza. Integrabilita' e derivabilita' delle serie di potenze. Principio di identita' per le serie di potenze.
9. Gio. 12 Ott.
Criterio del rapporto e della radice per la determinazione del raggio di convergenza. Operazioni coon le serie di potenze, prodotto alla Cauchy.
10. Ven. 13 Ott.
Serie di Taylor e loro convergenza di alcune funzioni elementari: serie binomiale (senza dimostrazione), esponenziale, seno, coseno, logaritmo, arcotangente.
11. Ven. 13 Ott.
Richiami sui numeri complessi. Esponenziale complesso
12. Ven. 13 Ott.
Esercizi: somma della serie

$$\sum_{n\geq 2} x^n\exp(n\ln2),$$

serie di taylor di

$$\frac{\cos(x)-1}{x^2}$$